\exo {Calcul de fonctions dérivées} Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer la fonction dérivée sur les intervalles où elle est définie. $$\displaylines { \alph \quad f (x) = 2x^3 - {x^2\over 3} + {1\over 3} \qquad \qquad \alph \quad g (x) ={2\over 4-x} + {4-x\over 2} \qquad \qquad %\cr \alph \quad h (x) = {x^2 - x\over x^2 + x + 2} }$$ \finexo \corrige \itemalph On trouve \dresultat { f' (x) = 6x^2 - {2\over 3} x = x \left( 6x - {2\over 3}\right) } \everymath = {\displaystyle } \itemalph En utilisant $\displaystyle { \left( {1\over u} \right) ' = -{u'\over u^2} }$ et en s'apercevant que ${4-x\over 2} = {1\over 2} (4-x)$, on trouve \dresultat { g' (x) = {2\over (4-x)^2} - {1\over 2}. } \itemalph On utilise $\displaystyle { \left( {u\over v} \right) ' = {u'v - uv'\over v^2} }$ avec $u = x^2 - x$, $u' = 2x - 1$, $v = x^2 + x + 2$ et $v' = 2x + 1$. On trouve alors $$ h' (x) = {(2x-1)(x^2 + x + 2) - (x^2 - x)(2x+1) \over (x^2 + x + 2)^2} \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat { h' (x) = { 2x^2 + 4x - 2\over (x^2 + x + 2)^2} . }$$ \fincorrige