\exo {Coefficients indéterminés} On considère $C_f$, la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\rset $ par $$ f (x) = ax^2 + bx + c $$ où $a$, $b$ et $c$ sont des constantes réelles fixées. Sachant que $C_f$ passe par les points $A (2, -1)$ et $B (0, 3)$, et qu'elle admet une tangente horizontale en $A$, déterminer les coefficients $a$, $b$ et $c$. \finexo \corrige Les $3$ conditions imposées nous donnent $3$ équations~: \item {} $\bullet $ $C_f$ passe par le point $A (2, -1)$, donc $f (2) = -1$. \item {} $\bullet $ $C_f$ passe par le point $B (0, 3)$, donc $f (0) = 3$. \item {} $\bullet $ $C_f$ admet une tangente horizontale en $A (2, -1)$, donc $f' (2) = 0$. \item {} \' Etant doné que $f' (x) = 2ax + b$, il vient le système $$ \cases { f (2) = -1 \cr f (0) = 3 \cr f' (2) = 0 \cr } \quad \Longrightarrow \quad \cases { 4a + 2b + c = -1 \cr c = 3 \cr 4a + b = 0 \cr } \quad \Longrightarrow \quad \matrix { \eightpoint \rm (1) \cr \eightpoint \rm (2) \cr \eightpoint \rm (3) \cr } \cases { 4a + 2b = -4 \cr c = 3 \cr 4a + b = 0 \cr } \quad \Longrightarrow \quad \matrix { \eightpoint \rm (1) - (2) \cr \cr \cr } \cases { b = -4 \cr c = 3 \cr 4a + b = 0 \cr } $$ d'où l'unique solution \dresultat {(a, b, c) = (1, -4, 3)}, autrement dit \dresultat {f (x) = x^2 -4x + 3}. \fincorrige