\exo {Recherche \og manuelle\fg \ de tangente} Le plan est rapporté à un repère $(O, \vec \imath , \vec \jmath \/)$ d'unité 4~cm sur $Ox$ et 2~cm sur $Oy$. On considère $C_f$, la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\rset $ par $f (x)= x^2$. Le but de cet exercice est de montrer la démarche employée pour construire la tangente à une courbe en un point donné (ici le point d'abscisse~1 de la courbe $y=x^2$). \itemnum Rappeler le tableau de variations de la fonction~$f$. \itemnum Compléter le tableau suivant~: \vskip -\bigskipamount $$\vcenter {\offinterlineskip \def \cc#1{% \hbox to 12mm {\hfill #1 \hfill }} \halign { % preamble #\tv && \cc {$#$}& #\tv \cr \noalign {\hrule } & x&& -0,25&& 0&& 0, 25&& 0, 5&& 0, 75&& 1&& 1, 25&& 1, 5&& 1, 75&& 2& \cr \noalign {\hrule } & f (x)&& && && && && && && && && && & \cr \noalign {\hrule } }} $$ \itemnum Construire la courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-0, 25\, ; 2]$. On note $A$ le point de la courbe d'abscisse~1. \itemnum On considère le point $B$ d'abscisse~2 de $C_f$. \itemitemalph Déterminer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow {AB}$. \itemitemalph En déduire le coefficient directeur de la droite $(AB)$. \itemitemalph Tracer la droite $(AB)$. \itemnum On considère le point $C$ d'abscisse~$1/2$ de $C_f$. \itemitemalph Déterminer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow {AC}$. \itemitemalph En déduire le coefficient directeur de la droite $(AC)$. \itemitemalph Tracer la droite $(AC)$. \itemnum On considère le point variable $M$ d'abscisse~$x = 1+h$ de $C_f$, où $h$ est un nombre réel. \itemitemalph Déterminer, en fonction de $h$, les coordonnées du vecteur $\overrightarrow {AM}$. \itemitemalph En déduire, en fonction de $h$, le coefficient directeur $m$ de la droite $(AM)$. \itemitemalph Remplir le tableau suivant qui donne les différentes valeurs du coefficient directeur de $(AM)$ suivant les valeurs de $h$. \vskip -\bigskipamount $$\vcenter {\offinterlineskip \def \cc#1{% \hbox to 13.5mm {\hfill #1\hfill }} \halign { % preamble #\tv && \cc {$#$}& #\tv \cr \noalign {\hrule } & x = 1+h&& 2&& 1, 5&& 1, 4&& 1, 3&& 1,1 && 1, 05&& 1, 005&& 1, 001&& 1, 0005& \cr \noalign {\hrule } & h&& 1&& 0, 5&& 0, 4&& 0, 3&& 0,1 && 0, 05&& 0, 005&& 0, 001&& 0, 0005& \cr \noalign {\hrule } & m && && && && && && && && && & \cr \noalign {\hrule } }} $$ \itemnum En tenant compte des questions précédentes, quel est, à votre avis, le coefficient directeur de la tangente à la courbe $C_f$ au point $A$~? Donner dans ce cas l'équation réduite de cette tangente et représenter la sur la courbe. \itemnum Quels sont à votre avis les coefficients directeurs des tangentes à la courbe $C_f$ aux points d'abscisses respectives $x=0$~? $x=2$~? $x=3$~? \finexo