\exo {Fonction cubique, lecture de graphique} On note $C$ la courbe représentative de la fonction $f$ définie par une écriture de la forme $$ x \mapsto ax^3 + bx^2 + cx + d. $$ Cette courbe est représentée sur la feuille annexe jointe. \itemitemalphnum Dresser le tableau de variation de $f$ sur $[-3, 3]$. \itemitemalph Lire sur le graphique les valeurs de $f (0)$, $f (1)$, $f' (1)$ et $f' (-1)$. \itemitemalph Calculer, en fonction de $a$, $b$, $c$ et $d$ la dérivée $f'$ de $f$. \itemitemalph Utiliser ce qui précède pour déterminer les valeurs de $a$, $b$, $c$ et $d$. \itemnum On admet que $f (x) = x^3 - 3x + 1$. \itemitemalph Tracer sur le même graphique la droite $D$ d'équation $y = -x$. \itemitemalph Déterminer graphiquement une valeur approchée des solutions de l'équation $$ x^3 - 3x + 1 = -x. $$ \itemitemalph Résoudre cette équation par le calcul. \def \epspath {% $HOME/tex_doc/lycee/database/1ere/sti/analyse/etudes/} \epsfxsize 80mm $$ \superboxepsillustrate {pol_003a.ps} $$ \finexo \corrige {} \itemalphnum Graphiquement, on lit le tableau de variations suivant~: $$\dresultat {\vcenter {\offinterlineskip \eightpoint \rm \def \cc#1{ \hfil #1 \hfil } \halign { % preamble \cc {$#$}& #\tv && \cc {$#$} \cr x&& -3&& -1&& 1&& 3& \cr \noalign {\hrule height 1pt} \buucenter {$f (x)$}&& \down {?}& \brightuuparrow & \buup {$3$}& \brightddownarrow & \down{$-1$}& \brightuuparrow & \buup {?} \cr }}} $$ \itemalph Sur le graphique, on lit \dresultat {f (0) = 1}, \dresultat {f (1) = -1}, \dresultat {f' (1) = 0} et \dresultat {f' (-1) = 0}. (En effet, $f' (\alpha )$ désigne le coefficient directeur de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $\alpha $.) \itemalph Comme $f (x) = ax^3 + bx^2 + cx +d$, il vient \mresultat {f' (x) = 3ax^2 + 2bx + c}. \itemalph Les 4~conditions de la question {\bf 1.}{\sl b\/}) nous donnent alors le système de 4~équations à 4~inconnues~: $$ \cases { f (0) = 1 \cr f (1) = -1 \cr f' (-1) = 0 \cr f' (1) = 0 \cr } \quad \Longrightarrow \quad \matrix { \cr \cr \scriptstyle (3) \cr \scriptstyle (4) \cr } \cases { a = 1 \cr a + b + c + d = -1 \cr 3a - 2b + c = 0 \cr 3a + 2b + c = 0 \cr } \quad \Longrightarrow \quad \matrix { \cr \cr \scriptstyle (3) \cr \scriptstyle (4) - (3) \cr } \cases { a = 1 \cr b + c + d = -2 \cr - 2b + c = -3 \cr 4b = 0 \cr } \quad \Longrightarrow \quad \cases { a = 1 \cr d = 1 \cr c = -3 \cr b = 0 \cr } $$ Finalement, on a \mresultat {(a, b, c, d) = (1, 0, -3, 1)}, et \dresultat {f (x) = x^3 -3x + 1}. \def \epspath {% $HOME/tex_doc/lycee/database/1ere/sti/analyse/etudes/} \epsfxsize 80mm \itemalphnum $$ \superboxepsillustrate {pol_003b.ps} $$ \itemalph Graphiquement, les solutions de cette équation correspondent aux abscisses des points d'intersection des courbes de $f$ et de $g$. On trouve donc 3~solutions~: \dresultat {x_1 \approx -1, 6}, \dresultat {x_2 \approx 0, 6} et \dresultat {x_3 \approx 1}. \itemalph On a $$ x^3 - 3x + 1 = -x. \qquad \Longleftrightarrow \qquad x^3 - 2x + 1 = 0. $$ Posons $P (x) = x^3 - 2x + 1$. Résoudre l'équation demandée revient à chercher les racines de $P$. \item {} $\bullet $ On voit facilement que \tresultat {$1$ est une racine évidente de $P$}, autrement dit que $P (1) = 0$. \item {} $\bullet $ On peut donc factoriser $P$ par $(x-1)$, et il vient $$\eqalign { x^3 - 2x + 1 &= (x-1) (ax^2 + bx + c) \cr &= ax^3 + (b-a)x^2 + (c-b) x -c \cr }$$ où $a$, $b$ et $c$ sont des constantes réelles à déterminer. Par identification, on obtient le système $$ \cases { a = 1 \cr b-a = 0 \cr c-b = -2 \cr -c = 1 \cr } \qquad \Longrightarrow \qquad \cases { a = 1 \cr b = 1 \cr c = -1 \cr -c = 1 \cr } \qquad \Longrightarrow \qquad \dresultat {P (x) = (x-1) (x^2 + x - 1)} $$ \item {} $\bullet $ Reste à résoudre l'équation $x^2 + x - 1 = 0$. On utilise la méthode du discriminant, et on trouve $\Delta = 5$, donc 2~racines~: $$ x_1 = {1\over 2} \left( -1 - \sqrt 5\right) \qquad {\rm et} \qquad x_2 = {1\over 2} \left( -1 + \sqrt 5\right) $$ \item {} $\bullet $ En conclusion, le polynôme $P$, et donc l'équation $x^3 - 3x + 1 = -x$, admet les trois racines $$ \dresultat {x_1 = {1\over 2} \left( -1 - \sqrt 5\right) } \qquad \qquad \dresultat {x_2 = {1\over 2} \left( -1 + \sqrt 5\right) } \qquad {\rm et} \qquad \dresultat {x_3 = 1}. $$ \fincorrige