\exo {\'Etudes de fonctions polynômes, résolution approchée d'équation} \let \partie \centerpartie Le plan est rapporté à un repère orthogonal $(O, \vec \imath, \vec \jmath \,)$ d'unité $2~\cm $ sur $Ox$ et $1~\cm $ sur $Oy$. \partie {A -- \' Etude d'une fonction polynôme de degré 2} On note $C_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $[-3, 4]$ par $$ f (x) = {3\over2} x^2 - 1. $$ \itemitemalphnum Déterminer $f'$, la fonction dérivée de $f$. \itemitemalph \'Etudier le signe de $f' (x)$ pour $x\in [-3; 4]$. \itemitemalph En déduire le tableau de variation de $f$ sur $[-3; 4]$. \itemnum Déterminer une équation de $T$, la tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse $-1$. \itemnum Tracer la tangente $T$ puis la courbe $C_f$ dans le repère $(O, \vec \imath, \vec \jmath \,)$. \partie {B -- \' Etude d'une fonction polynôme de degré 3} On considère $C_g$, la courbe représentative de la fonction $g$ définie sur $[-3, 4]$ par $$ g (x) = - x^3 + {3\over2} x^2 + 6x - 1. $$ \itemitemalphnum Déterminer la fonction dérivée $g'$. \itemitemalph Expliquer pourquoi $g' (x)$ est du signe de $-x^2 + x +2$. \itemitemalph \'Etudier le signe de $g' (x)$. En déduire le tableau de variation de $g$ sur $[-3, 4]$. %% \itemitemalphnum Combien l'équation $g (x) = 0$ admet-elle de %% solution(s) sur $[-3, 4]$~? (Justifier.) On note $\alpha$ la %% plus grande de ces solutions. %% %% \itemitemalph Déterminer un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ %% de $\alpha$ (justifier). %% \itemnum Déterminer, par le calcul, les coordonnées des points d'intersection des courbes $C_f$ et $C_g$. \itemnum Tracer la courbe $C_g$ dans le repère orthogonal $(O, \vec \imath, \vec \jmath\,)$. \finexo \corrige{} \let \partie \llappartie \partie {A} % \vskip -6mm \itemnum \ On trouve \mresultat{f' (x) = 3x}, du signe de $x$, d'où le tableau de variations~: $$\dresultat{ \vbox{\eightpoint\rm \def \hfq{\hfil \hskip .3em } \offinterlineskip \halign{ % preamble &\cc{$#$} \cr x& \vrule depth 5pt & -3&& 0&& 4% \cr \noalign{\hrule} F' (x)& \vrule height 10pt depth 5pt & & - &0& + \cr \noalign{\hrule} \bbuucenter{$f (x)$}& \vrule& \bbuup{$12, 5$}& \bbrightddownarrow & \down{$-1$}& \bbrightuuparrow & \bbuup{$23$} \cr }} }$$ \itemnum On a $$ f (-1) = {1\over 2} \qquad {\rm et} \qquad f' (-1) = -3 $$ d'où l'équation de la tangente cherchée~: \dresultat {y = -3 x - {5\over 2}}. \itemnum \def \epspath{% $HOME/tex_doc/lycee/database/1ere/sti/analyse/etudes/} $$ \superboxepsillustrate{pol_005.ps} $$ \partie {B} % \vskip -6mm \itemalphnum Le calcul de la fonction dérivée donne \mresultat{g' (x) = -3x^2 + 3x + 6 = 3 (-x^2 + x + 2)} \itemalph La fonction dérivée est du signe de $-x^2 + x + 2$. La méthode du discriminant $\Delta$, ici égal à 9, nous donne les deux racines $x_1 = 2$ et $x_2 = -1$. Or l'on sait qu'un polynôme du second degré est \og {\sl du signe de $-a$ entre les racines}\fg. D'où le signe de $f'$~: \tresultat{positive entre $-1$ et $2$, négative sinon}. \itemalph D'où le tableau de variations de $g$~: $$\dresultat{ \vbox{\eightpoint\rm \def \hfq{\hfil \ } \offinterlineskip \halign{ % preamble &\cc{$#$} \cr x& \vrule depth 5pt & -3&& -1&& 2&& 4&% \cr \noalign{\hrule} g' (x)& \vrule height 10pt depth 5pt & & - &0& + &0& - & \cr \noalign{\hrule} \bbuucenter{$f (x)$}& \vrule& \bbuup{$21, 5$}& \bbrightddownarrow & \down{$-9/2$}& \bbrightuuparrow & \bbuup{$9$} & \bbrightddownarrow & \down{$-17$}& \cr }} }$$ \itemnum Pour déterminer l'intersection des deux courbes, il faut résoudre le système $$\displaylines{ \cases{ y = f (x) \cr y = g (x) \cr} \quad \Longleftrightarrow \quad \cases{ y = -x^3 + {3\over2} x^2 + 6x - 1 \cr y = {3\over2} x^2 - 1 \cr} \quad \Longleftrightarrow \quad \cases{ {3\over2} x^2 - 1 = -x^3 + {3\over2} x^2 + 6x - 1 \cr y = {3\over2} x^2 - 1 \cr} \cr \Longleftrightarrow \quad \cases{ 0 = -x^3 + 6x \cr y = {3\over2} x^2 - 1 \cr} \quad \Longleftrightarrow \quad \cases{ 0 = x (-x^2 + 6) \cr y = -{3\over2} x^2 + 1 \cr} }$$ L'équation $0 = x (-x^2 + 6)$ donne les 3~solutions $x= 0$, $x= \sqrt 6$ et $x = -\sqrt 6$, d'où les trois points d'intersection~: \mresultat{A (-\sqrt6, -8)}, \mresultat{B (0, 1)} et \mresultat{C (\sqrt6, -8)}. \fincorrige