%% format (plain.tex + fichiers de macro) OU (jpv.tex) %% fichiers de macro basejpv.tex %% sujet resolution approchee d'equation %% date 01-10-99 %% auteur jp vignault \exo {Résolution approchée d'équation} On considère l'équation \quad $(E) : x^3 -12x + 7 = 0$. Le but de cet exercice est de déterminer si cette équation admet des solutions sur $\rset $, et d'en donner des valeurs approchées le cas échéant. On introduit la fonction $f$, définie pour tout $x \in \rset$ par \quad $f (x) = x^3 -12x + 7$, \quad et on admet que le tableau de variations de cette fonction est le suivant~: $$ \vbox {\eightpoint \rm \def \hfq {\hfil \ } \offinterlineskip \halign { % preamble &\cc {$#$} \cr x& \vrule depth 5pt & -\infty && -2&& 2&& +\infty &% \cr \noalign {\hrule } \bbuucenter {$f (x)$}& \vrule & \down {$-\infty $}& \bbrightuuparrow & \bbuup {$23$}& \bbrightddownarrow & \down {$-9$} & \bbrightuuparrow & \bbuup {$+\infty $}& \cr }} $$ \itemnum Calculer $f (4)$ et $f (-4)$. En déduire, en le justifiant, le nombre de solutions de l'équation $(E)$ sur $\rset $. \itemnum Soit $\alpha $, $\beta $ et $\gamma $, les trois solutions réelles de l'équation $(E)$. Donner, en le justifiant, un encadrement de d'amplitude $10^{-2}$ de chacune de ces solutions. \finexo \corrige \itemnum On trouve \dresultat {f (4) = 23} et \dresultat {f (-4) = -9}. D'où le tableau de variation de $f$~: \medskip \centerline {$$ \vbox {\eightpoint \rm \def \hfq {\hfil \ } \offinterlineskip \halign { % preamble &\cc {$#$} \cr x& \vrule depth 5pt & -\infty && -4&& -2&& 2&& 4&& +\infty &% \cr \noalign {\hrule } \bbuucenter {$f (x)$}& \vrule & \down {$-\infty $}& \brightuparrow & \bup {$-9$}& \bup {\brightuparrow }& \bup {\bup {$23$}}& \brightddownarrow & \down {$-9$} & \brightuparrow & \bup {$23$}& \bup {\brightuparrow }& \bup {\bup {$+\infty $}}& \cr }} $$} \medskip \item {} On en déduit que~: $f$ ne s'annule ni sur $]-\infty ; -4]$ (puisque son maximum est $-9$ sur cet intervalle), ni sur $[4; +\infty [$ (puisque son minimum est $23$ sur cet intervalle). \item {} En revanche, la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $[-4; -2]$ et elle change de signe sur cet intervalle (puisque $f (-4) < 0$ et $f (-2) > 0$). On en déduit que l'équation $f (x) = 0$ admet \tresultat {une solution unique $\alpha $ sur $[-4; -2]$}. \item {} Un raisonnement analogue prouve que l'équation $f (x) = 0$ admet $$ \tresultat {deux autres solutions~: $\beta \in [-2; 2]$, et $\gamma \in [2; 4]$}. $$ \itemnum Avec une calculatrice, et en procédant par dichotomie, on trouve~: $$\displaylines { \dresultat {-3, 73 < \alpha < -3, 72} \qquad \hbox {puisque $f (-3, 73) < 0$ et f(-3, 72) > 0} \cr \dresultat {0, 60 < \beta < 0, 61} \qquad \hbox {puisque $f (0, 60) > 0$ et f(0, 61) < 0} \cr \dresultat {3, 12 < \gamma < 3, 13} \qquad \hbox {puisque $f (3, 12) < 0$ et f(3, 13) > 0} \cr }$$ \fincorrige