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Source de equa_001.tex

Fichier TeX
%% format               (plain.tex + fichiers de macro) OU (jpv.tex)
%% fichiers de macro    basejpv.tex 
%% sujet                resolution approchee d'equation
%% date                 01-10-99
%% auteur               jp vignault 

\exo {Résolution approchée d'équation}

On considère l'équation \quad $(E) : x^3 -12x + 7 = 0$.

Le but de cet exercice est de déterminer si cette équation 
admet des solutions sur $\rset $, et d'en donner des 
valeurs approchées le cas échéant.

On introduit la fonction $f$, définie pour tout $x \in \rset$
par \quad $f (x) = x^3 -12x + 7$, 
\quad et on admet que le tableau de variations de cette fonction est 
le suivant~:
$$
\vbox {\eightpoint \rm
   \def \hfq {\hfil \ }
   \offinterlineskip
   \halign {
   % preamble
      &\cc {$#$}
   \cr
      x& \vrule depth 5pt & 
         -\infty && -2&& 2&& +\infty &%
   \cr
   \noalign {\hrule }
      \bbuucenter {$f (x)$}& \vrule & 
         \down {$-\infty $}& \bbrightuuparrow & 
         \bbuup {$23$}&
         \bbrightddownarrow & \down {$-9$} &
         \bbrightuuparrow & \bbuup {$+\infty $}&
   \cr
}}
$$

\itemnum Calculer $f (4)$ et $f (-4)$. En déduire, en le justifiant,
le nombre de solutions de l'équation $(E)$ sur $\rset $.

\itemnum Soit $\alpha $, $\beta $ et $\gamma $, les trois solutions
réelles de l'équation $(E)$.
Donner, en le justifiant, un encadrement de d'amplitude
$10^{-2}$ de chacune de ces solutions.

\finexo

\corrige

\itemnum On trouve \dresultat {f (4) = 23} et \dresultat {f (-4) =
-9}. D'où le tableau de variation de $f$~:
\medskip
\centerline {$$
\vbox {\eightpoint \rm
   \def \hfq {\hfil \ }
   \offinterlineskip
   \halign {
   % preamble
      &\cc {$#$}
   \cr
      x& \vrule depth 5pt & 
         -\infty && -4&& -2&& 2&& 4&& +\infty &%
   \cr
   \noalign {\hrule }
      \bbuucenter {$f (x)$}& \vrule & 
         \down {$-\infty $}& \brightuparrow & 
         \bup {$-9$}& \bup {\brightuparrow }& 
         \bup {\bup {$23$}}&
         \brightddownarrow & \down {$-9$} &
         \brightuparrow & 
         \bup {$23$}& \bup {\brightuparrow }& 
         \bup {\bup {$+\infty $}}&
   \cr
}}
$$}

\medskip

\item {} On en déduit que~: $f$ ne s'annule ni sur $]-\infty ; -4]$
   (puisque son maximum est $-9$ sur cet intervalle), ni sur $[4;
   +\infty [$ (puisque son minimum est $23$ sur cet intervalle). 

\item {} En revanche, la fonction $f$ est strictement croissante sur
   l'intervalle $[-4; -2]$ et elle change de signe sur cet intervalle
   (puisque $f (-4) < 0$ et $f (-2) > 0$). On en déduit que l'équation
   $f (x) = 0$ admet \tresultat {une solution unique $\alpha $ sur
   $[-4; -2]$}.

\item {} Un raisonnement analogue prouve que l'équation
   $f (x) = 0$ admet 
$$
   \tresultat {deux autres solutions~: $\beta \in
   [-2; 2]$, et $\gamma \in [2; 4]$}.
$$

\itemnum Avec une calculatrice, et en procédant par dichotomie, on
   trouve~:
$$\displaylines {
   \dresultat {-3, 73 < \alpha < -3, 72} 
      \qquad \hbox {puisque $f (-3, 73) < 0$ et f(-3, 72) > 0}
\cr
   \dresultat {0, 60 < \beta < 0, 61} 
      \qquad \hbox {puisque $f (0, 60) > 0$ et f(0, 61) < 0}
\cr
   \dresultat {3, 12 < \gamma < 3, 13} 
      \qquad \hbox {puisque $f (3, 12) < 0$ et f(3, 13) > 0}
\cr
}$$

\fincorrige