%% format (plain.tex + fichiers de macro) OU (jpv.tex) %% fichiers de macro basejpv.tex + illustr.tex %% sujet lecture graphique, equation, inequation %% date 12-11-97 %% auteur jp vignault \exo{intersection et positions re\-la\-ti\-ves de deux courbes} \def \epspath{% $HOME/tex_doc/lycee/database/1ere/sti/analyse/fonction/} %$ %\epsfxsize = 78mm \bigskip \rightsuperboxepsillustrate{fct_003a.ps}{-27} \num \ On vous donne ci-contre la représentation gra\-phi\-que d'une parabole. Une équation de cette cour\-be est donc $$ y = ax^2 + bx +c. $$ Déterminer, à l'aide du graphique, les valeurs des cons\-tan\-tes $a$, $b$ et $c$. %% $$ %% \superboxepsillustrate{fct_003a.ps} %% $$ \num \ Soit $g$ la fonction définie sur $\rset$ par $$ g (x) = 2 x + 2. $$ Sur le graphique ci-contre, représenter $C_g$, la cour\-be re\-pré\-sen\-ta\-ti\-ve de la fonction $g$. \num \ On considère $C_f$, la courbe re\-pré\-sen\-ta\-ti\-ve de la fonc\-tion $f$ définie sur $\rset$ par $$ f (x) = x^2 + 4x + 1. $$ \alph \ Déterminer les points d'intersections de $C_f$ avec les axes $Ox$ et $Oy$. \alph \ On admet que $C_f$ est la parabole représentée sur la figure ci-contre. Résoudre gra\-phi\-que\-ment l'é\-qua\-tion $$ 2 x + 2 = x^2 + 4x + 1 $$ (nombre de solution(s) et valeur approchée à $0,5$ près de chacune). \alph \ Résoudre dans $\rset$, par le calcul, l'é\-qua\-tion $2x + 2 = x^2 + 4x + 1$. \alph \ \'Etudier le signe de $f - g$. En déduire les positions relatives des courbes $C_f$ et $C_g$. \finexo \corrige{} \def \epspath{% $HOME/tex_doc/lycee/database/1ere/sti/analyse/fonction/} %$ \epsfxsize = 70mm $$ \superboxepsillustrate{fct_003b.ps} $$ \itemnum La courbe passe par les points $A (-1, -2)$, $B (0, 1)$ et $C (1, 6)$. On en déduit le système $$ \cases{ f (-1) = -2 \cr f (0) = 1 \cr f (1) = 6 \cr} \quad \Longrightarrow \quad \cases{ a - b + c = -2 \cr c = 1 \cr a + b + c = 6 \cr} $$ d'où l'on tire \mresultat{(a, b, c) = (1, 4, 1)}, soit encore \dresultat {f (x) = x^2 + 4x + 1}. \itemnum On reconnaît l'équation d'une droite dont il suffit de déterminer deux points. \itemalphnum \ {\sl Intersection de $C_f$ avec l'axe $Oy$}~: Chercher cette intersection revient à résoudre le système $$ \cases { x = 0 \cr y = x^2 + 4x + 1 \cr } $$ qui donne immédiatement l'unique couple solution~: $(x, y) = (0, 1)$, d'où l'unique point d'intersection~: \tresultat{le point $(0, 1)$} \item {} {\sl Intersection de $C_f$ avec l'axe $Ox$}~: il faut résoudre le système $$ \cases{ y = x^2 + 4x + 1 \cr y = 0 \cr} $$ ce qui revient à résoudre l'équation $x^2 + 4x + 1 = 0$. On trouve $\Delta=(2\sqrt3)^2 = 12$ d'où les deux racines~: $x = -2\pm2\sqrt3$. Finalement, on a deux points d'intersection~: \mresultat{(-2-\sqrt3, 0)} et \mresultat{(-2+\sqrt3, 0)} \itemalph Graphiquement, on voit qu'il y a deux solutions~: $\alpha \simeq -2, 5$ et $\beta \simeq 0, 5$. \itemalph \ Par le calcul~: $$ 2x + 2 = x^2 + 4x + 1 \qquad \Longleftrightarrow \qquad 0 = x^2 + 2x - 1. $$ La méthode du discriminant s'impose. On trouve $\Delta = 8 = (2\sqrt 2)^2$, d'où les 2~racines réelles~: \dresultat {\alpha = -1 - \sqrt 2} et \dresultat {\beta = -1+\sqrt 2}. \itemalph \ On a $$ f (x) - g (x) = x^2 + 2x - 1. $$ En reprenant les calculs précédents, on a donc 2~racines réelles $\alpha $ et $\beta $, et cette différence est négative (signe de $-a$) pour $x$ appartenant à l'intervalle $[\alpha ; \beta ]$, et positive pour $x$ en dehors de cet intervalle. \item {} D'où le tableau récapitulatif~: $$\vcenter{ \eightpoint\rm \offinterlineskip \halign{ % preamble \cc{#}& #&& \cc{#} \cr $x$& \vrule depth 5pt & $0$&& $\alpha $&& $\beta $&& \omit $+\infty$% \cr \noalign{\hrule} $f (x) - g (x)$& \vrule height 10pt depth 3pt & & $+$& $0$& $-$& $0$& $+$ \cr \noalign{\hrule} \tvi height 12pt $f (x)$& \vrule& & $C_f$ au dessus de $C_g$& \vrule & $C_f$ au dessous de $C_g$& \vrule & $C_f$ au dessus de $C_g$ \cr }} $$ \fincorrige