Retour

Source de fct_003.tex

Fichier TeX
%% format               (plain.tex + fichiers de macro) OU (jpv.tex)
%% fichiers de macro    basejpv.tex + illustr.tex
%% sujet                lecture graphique, equation, inequation
%% date                 12-11-97
%% auteur               jp vignault 

\exo{intersection et positions re\-la\-ti\-ves de deux courbes}

\def \epspath{%
   $HOME/tex_doc/lycee/database/1ere/sti/analyse/fonction/} %$

%\epsfxsize = 78mm

\bigskip

\rightsuperboxepsillustrate{fct_003a.ps}{-27}
\num \ 
On vous donne ci-contre la représentation gra\-phi\-que
d'une parabole. Une équation de cette cour\-be est donc
$$
   y = ax^2 + bx +c.
$$
 Déterminer, à l'aide du graphique, les valeurs
des cons\-tan\-tes $a$, $b$ et $c$.
%% $$
%%    \superboxepsillustrate{fct_003a.ps}
%% $$

\num \ 
Soit $g$ la fonction définie sur $\rset$ par
$$
   g (x) = 2 x + 2.
$$ 
Sur le graphique ci-contre, représenter $C_g$, 
la cour\-be re\-pré\-sen\-ta\-ti\-ve de la fonction $g$.

\num \ 
On considère $C_f$, la courbe re\-pré\-sen\-ta\-ti\-ve de la fonc\-tion 
$f$ définie sur $\rset$ par 
$$
   f (x) = x^2 + 4x + 1.
$$

\alph \ 
Déterminer les points d'intersections de
$C_f$ avec les axes $Ox$ et $Oy$.

\alph \ 
On admet que $C_f$ est la parabole représentée sur 
la figure ci-contre. Résoudre gra\-phi\-que\-ment l'é\-qua\-tion 
$$
   2 x + 2 = x^2 + 4x + 1
$$
(nombre de solution(s) et valeur approchée à $0,5$
près de chacune).

\alph \ 
Résoudre dans $\rset$, par le calcul, l'é\-qua\-tion 
$2x + 2 = x^2 + 4x + 1$.

\alph \ 
\'Etudier le signe de $f - g$. En déduire les positions
relatives des courbes $C_f$ et $C_g$.

\finexo

\corrige{}

\def \epspath{%
   $HOME/tex_doc/lycee/database/1ere/sti/analyse/fonction/} %$

\epsfxsize = 70mm
$$
   \superboxepsillustrate{fct_003b.ps}
$$

\itemnum 
La courbe passe par les points $A (-1, -2)$, $B (0, 1)$ et $C (1,
6)$. On en déduit le système
$$
   \cases{
      f (-1) = -2
   \cr
      f (0) = 1
   \cr
      f (1) = 6
   \cr}
      \quad \Longrightarrow \quad
   \cases{
      a - b + c = -2
   \cr
      c = 1
   \cr
      a + b + c = 6
   \cr}
$$
d'où l'on tire \mresultat{(a, b, c) = (1, 4, 1)}, soit encore
\dresultat {f (x) = x^2 + 4x + 1}.

\itemnum On reconnaît l'équation d'une droite dont il suffit de
déterminer deux points.

\itemalphnum \ {\sl Intersection de $C_f$ avec l'axe $Oy$}~: Chercher
cette intersection revient à résoudre le système 
$$
   \cases {
      x = 0
   \cr
      y = x^2 + 4x + 1
   \cr }
$$
qui donne immédiatement l'unique couple solution~: $(x, y) = (0, 1)$,
d'où l'unique point d'intersection~: \tresultat{le point $(0, 1)$} 

\item {} {\sl Intersection de $C_f$ avec l'axe $Ox$}~: il faut résoudre le
système
$$
   \cases{
      y = x^2 + 4x + 1
   \cr
      y = 0
   \cr}
$$
ce qui revient à résoudre l'équation $x^2 + 4x + 1 = 0$. On trouve
$\Delta=(2\sqrt3)^2 = 12$ d'où les deux racines~: $x =
-2\pm2\sqrt3$. Finalement, on a deux points d'intersection~:
\mresultat{(-2-\sqrt3, 0)} et \mresultat{(-2+\sqrt3, 0)}

\itemalph Graphiquement, on voit qu'il y a deux solutions~: $\alpha
\simeq -2, 5$ et $\beta \simeq 0, 5$.

\itemalph \ Par le calcul~:
$$
   2x + 2 = x^2 + 4x + 1
      \qquad \Longleftrightarrow \qquad
   0 = x^2 + 2x - 1.
$$
La méthode du discriminant s'impose. On trouve $\Delta = 8 = (2\sqrt
2)^2$, d'où les 2~racines réelles~: \dresultat {\alpha = -1 - \sqrt 2}
et \dresultat {\beta = -1+\sqrt 2}.

\itemalph \ On a 
$$
   f (x) - g (x) = x^2 + 2x - 1.
$$
En reprenant les calculs précédents, on a donc 2~racines réelles
$\alpha $ et $\beta $, et cette différence est négative (signe de
$-a$) pour $x$ appartenant à l'intervalle $[\alpha ; \beta ]$, et
positive pour $x$ en dehors de cet intervalle.

\item {} D'où le tableau récapitulatif~:
$$\vcenter{
\eightpoint\rm
   \offinterlineskip
   \halign{
   % preamble
      \cc{#}& #&& \cc{#}
   \cr
      $x$& \vrule depth 5pt &
      $0$&& $\alpha $&& $\beta $&& \omit $+\infty$%
   \cr
   \noalign{\hrule}
      $f (x) - g (x)$& \vrule height 10pt depth 3pt & 
      & $+$& $0$& $-$& $0$& $+$
   \cr
   \noalign{\hrule}
      \tvi height 12pt $f (x)$& \vrule& 
         & 
         $C_f$ au dessus de $C_g$& \vrule &
         $C_f$ au dessous de $C_g$& \vrule &
         $C_f$ au dessus de $C_g$
   \cr
}}
$$

\fincorrige