%% format (plain.tex + fichiers de macro) OU (jpv.tex) %% fichiers de macro basejpv.tex %% sujet etude de fonction polynome %% date 08-01-98 %% auteur jp vignault \exo{\'Etude d'une fonction rationnelle} On considère $C_f$, la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $]0, 10]$ par $$ f (x) = - {1 \over 2x} $$ et $\Delta$ la droite d'équation $$ y = -{1 \over 6} x -{1 \over 3}. $$ \itemnum \'Etudier les variations de la fonction $f$ (autrement dit calculer sa dérivée $f'$, étudier le signe de cette dérivée, et dresser le tableau des variations de $f$). \itemnum Représenter, dans un même repère orthonormal, les courbes $C_f$ et $\Delta$.% %% \footnote{$^{(*)}$}{Si, vous avez bien lu~! $\Delta$ est bien une %% courbe, toute droite qu'elle est\dots} \itemitemalphnum Déterminer graphiquement les points d'intersection de $C_f$ et $\Delta$. \itemitemalph Retrouver ces points d'intersection par l'algèbre. \itemitemalph \'Etudier les positions relatives de $C_f$ et $\Delta$. \finexo \corrige{} \item{$\bullet$} On a \dresultat{f' (x) = {1 \over 2x^2}}, qui est évidemment toujours strictement positive. On obtient alors le tableau de variations (dont les limites n'étaient pas demandées) et la courbe suivante~: \def \epspath{% $HOME/tex_doc/lycee/database/1ere/sti/analyse/fonction/} \epsfxsize = 50mm \def \mysmash#1{% \setbox \tmpbox \hbox{#1} \wd \tmpbox = 0pt \box \tmpbox} $$\vcenter{ \eightpoint\rm \def \hfq{\hfil \ } \offinterlineskip \halign{ % preamble &\hfq #\hfq \cr $x$& \vrule depth 5pt & $0$&&& $+\infty$% \cr \noalign{\hrule} $f' (x)$& \vrule height 10pt depth 3pt & \vrule \hskip.31em \vrule && $+$ \cr \noalign{\hrule} \bbuucenter{$f (x)$}& \vrule& \vrule \hskip.31em \vrule & \down{$-\infty$}\hfill& \bbrightuuparrow & \bbuup{$0$}% \cr }} \qquad \vcenter{\superboxepsillustrate{fct_009.ps}} $$ \item{$\bullet$} Déterminer les points d'intersection de $C_f$ et $\Delta$ revient à résoudre le système formé par les équations des deux courbes. $$\displaylines{ \cases{ y = - {1 \over 2x} \cr y = -{1 \over 6} x -{1 \over 3} \cr} \qquad \Longleftrightarrow \qquad \cases{ {1 \over 6} x + {1 \over 3} = {1 \over 2x} \cr 6y = -x - 2 \cr} \qquad \Longleftrightarrow \qquad \cases{ 1 = {x^2 \over 3} + {2x \over 3} \cr 6y = -x - 2 \cr} \cr \Longleftrightarrow \qquad \cases{ x^2 + 2x - 3 = 0 \cr 6y = -x - 2 \cr} \qquad \Longleftrightarrow \qquad \cases{ x = -3 \quad {\rm ou} \quad x = 1 \cr 6y = -x - 2 \cr} \cr \Longleftrightarrow \qquad (x, y) = (-3, {1\over6}) \quad {\rm ou} \quad (x, y) = (1, -{1\over2}) \cr}$$ Comme $f$ n'est pas définie pour les $x$ négatifs, on en déduit qu'il n'y a qu'un seul point d'intersection~: \tresultat{le point $(1, -{1\over2})$}. \item{$\bullet$} \'Etudier les positions relatives de $C_f$ et $\Delta$ revient à étudier le signe de la différence $f (x) - (-{1 \over 6} x -{1 \over 3})$. Or on a $$ f (x) - \Big( -{1 \over 6} x -{1 \over 3} \Big) = {1 \over 3} (x^2 + 2x - 3) $$ qui est du signe de $x^2 + 2x - 3$, donc négatif pour $x$ entre $-3$ et $1$, positif sinon (d'après la question précédente est en utilisant le cours sur le signe d'un polynôme du second degré). En conclusion $$ \tresultat{$C_f$ est en dessous de $\Delta$ pour $x \in \,]0, 1[$, en dessus sinon}. $$ \fincorrige