\exo{Résolution approchée d'une équation polynômiale de degré 4} On considère la fonction $P$ définie pour tout $x \in \rset$ par $ P (x) = {1 \over 4} x^4 - {5\over3} x^3 + x^2 + 8x - 7 $. \itemitemalphnum Calculer la fonction dérivée $P' (x)$ \itemitemalph Calculer $P' (-1)$. Donner une interprétation géométrique du résultat de ce calcul. \itemitemalph Factoriser $P' (x)$ sous la forme $P' (x) = (x-\alpha) (ax^2 + bx + c)$ où $a$, $b$ et $c$ sont 3~réels à déterminer. \itemitemalph \'Etudier les variations de $P$. \itemitemalph Tracer la courbe représentative de la fonction $P$ dans un repère orthogonal. \itemitemalphnum Montrer que l'équation $P (x) = 0$ admet une unique solution $x_0$ sur l'intervalle $[2; 4]$ (on ne demande pas de résoudre cette équation). \itemitemalph Déterminer un encadrement à $10^{-3}$ près de $x_0$. Justifier. \finexo