\exo{\'Etude d'une fonction rationnelle} \itemnum Soit $C$ la courbe d'équation $\displaystyle{ y = {2x + a \over x + b} }$ où $a$ et $b$ sont des constantes réelles. \item{} Déterminer les nombres $a$ et $b$ sachant que la courbe $C$ passe par les points $B(-1, 6)$ et $C(4, 1)$. \itemnum On considère la fonction $f$ définie par $\displaystyle{ f(x) = {2x -4 \over x} }$ et $\cal H$ sa courbe représentative. \itemitemalph Donner l'ensemble de définition de $f$ (justifier). \itemitemalph Calculer l'expression de la fonction dérivée $f'$. \itemitemalph \'Etudier le signe de $f'$. En déduire le tableau de variation de $f$. \itemitemalph \'Etudier les positions relatives de la courbe $\cal H$ et de la droite d'équation $y = 2$. En particulier, préciser le nombre de point(s) d'intersection. \itemitemalph Déterminer les coordonnées de $A$, le point d'intersection de la courbe $\cal H$ et de l'axe $Ox$. \itemitemalph Calculer une équation de $T$, la tangente à $\cal H$ au point $A$. \itemitemalph Montrer que $\cal H$ admet en un point $D$ dont vous déterminerez les coordonnées, une autre tangente parallèle à $T$. Donner une équation de cette tangente. \itemitemalph Tracer ces tangentes et la courbe $\cal H$. \finexo