\exo{Une fonction rationnelle} On considère $C_g$, la courbe représentative de la fonction $g$ définie par $$ g (x) = x - 3 + {1\over x}. $$ \itemnum Déterminer l'ensemble de définition de $g$ (autrement dit l'ensemble des réels $x$ tels que $g (x)$ soit calculable). %%tmp \itemnum Déterminer les coordonnées des points d'intersection de %%tmp la courbe $C_g$ avec l'axe $Oy$. \itemitemalphnum Calculer la fonction dérivée $g'$. \itemitemalph \'Etudier le signe de $g'$. En déduire le tableau de variations de $g$. \itemnum On considère la droite $\Delta$ d'équation $$ \Delta : \quad y = x - 3. $$ \itemitemalph Déterminer le ou les points d'intersection de $C_g$ avec la droite $\Delta$. \itemitemalph \'Etudier les positions relatives des courbes $C_g$ et $\Delta$. \itemnum Déterminer une équation de $T$, la tangente à la courbe $C_g$ au point d'abscisse $1/2$ \itemnum \`A l'aide d'une calculatrice, remplir le tableau suivant en calculant, pour chaque valeur donnée de $x$, une valeur approchée à $5.10^{-2}$ près de $f (x)$. $$ \vbox{\halign{ % preamble \tv #&& \cc{$#$}& \tv # \cr \noalign{\hrule} & x&& -4&& -3&& -2&& -1 && -{1\over2}&& {1\over4}&& {1\over2}&& 1&& 2&& 3&& 4& \cr \noalign{\hrule} & f (x)&& && && && && && && && && && && & \cr \noalign{\hrule} }} $$ \itemnum Tracer soigneusement, dans un même repère orthogonal, les droites $\Delta$ et $T$ ainsi que la courbe $C_g$. \finexo