%% format (plain.tex + fichiers de macro) OU (jpv.tex) %% fichiers de macro basejpv.tex %% sujet etude de fonction polynome %% date 08-01-98 %% auteur jp vignault \exo{\'Etude de d'une fonction polynôme de degré~3} On considère $C_g$, la courbe représentative de la fonction $g$ définie sur $[-4; 3]$ par $$ g (x) = x^3 + 2x^2 -4x + 1. $$ \itemitemalphnum Déterminer $g'$, la fonction dérivée de la fonction $g$. \itemitemalph \'Etudier le signe de $g'$ sur $[-4; 3]$. \itemitemalph Dresser le tableau des variations de la fonction $g$. \itemitemalphnum Montrer que l'équation $g (x) = 0$ admet une unique solution sur l'intervalle $[-2 ; {2/3}]$. On notera $\alpha $ cette solution. \itemitemalph Déterminer un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de $\alpha $. (Justifier.) \itemnum Déterminer une équation de $T$, la tangente à $C_g$ au point d'abscisse~1. \itemnum Tracer la droite $T$ et la courbe $C_g$ dans un repère orthogonal; unités graphiques~: $3$~cm (ou 3~grands carreaux) sur l'axe des abscisses, et 1~cm (ou 1~grand carreau) sur l'axe des ordonnées. \finexo \corrige{} \itemalphnum On a \mresultat{g' (x) = 3x^2 + 4x -4}. En utilisant la méthode du discriminant $\Delta $ (ici égal à ~64), on trouve que $g'$ admet les 2~racines $-2$ et $2/3$, et que $g' (x)$ est de signe négatif pour $x$ entre ces racines. \itemalph \alph \ D'où le tableau de signes pour $g'$ et le tableau de variations pour $g$~: $$\dresultat{\vbox{ \eightpoint\rm \def \hfq{\hfil \ } \offinterlineskip \halign{ % preamble &\hfq #\hfq \cr $x$& \vrule depth 5pt & $-4$&& $-2$&& ${2\over3}$&& $3$% \cr \noalign{\hrule} $g' (x)$& \vrule height 10pt depth 3pt && $+$& $0$& $-$ & $0$& $+$ \cr \noalign{\hrule} \bbuucenter{$g (x)$}& \vrule& \down{$-15$}\hfill& \bbrightuuparrow & \bbuup{$9$}& \bbrightddownarrow & \down{$-{13 \over 27}\simeq -0, 48$} & \bbrightuuparrow & \bbuup{$34$}% \cr }}} $$ \itemalphnum D'après la question ci-dessus, la fonction $g$ est strictement décroissante sur l'intervalle $[-2; 2/3]$, et elle change de signe sur cet intervalle (puisque $g (-2)$ est positif alors que $g (2/3)$ est négatif). Ceci prouve que l'équation $g (x) = 0$ \tresultat {admet une unique solution $\alpha \in [-2; 2/3]$}. \itemalph On trouve \dresultat {0, 30<\alpha <0, 31} puisque $g (0, 30)$ est positif alors que $g (0, 31)$ est négatif. \itemnum On a $g (1) = 0$, donc la tangente passe par le point $(1, 0)$, et $g' (1) = 3$, donc le coefficient directeur de cette tangente est~3. Après calculs, on trouve l'équation réduite de la tangente cherchée~: \mresultat{y = 3 (x-1)}. On peut également trouver ce résultat en utilisant la formule générique $y = f' (a) (x-a) + f (a)$ avec $a= 1$. \def \epspath{% $HOME/tex_doc/lycee/database/1ere/sti/analyse/fonction/} %\epsfxsize = 120mm \itemnum $$ \superboxepsillustrate{fct_020.ps} $$ \fincorrige