\exo {La longueur de la spirale} Il existe de nombreux procédés de construction de spirales. En voici un parmi les plus simples~: \itemnum Au centre d'une feuille de format A4 quadrillée, tracez comme il est indiqué ci-dessous un carré $ABCD$ dont chaque côté a pour longueur 1~cm, puis~: \itemitem {$\bullet $} le quart de cercle $DE$ centré en $A$ \itemitem {$\bullet $} le quart de cercle $EF$ centré en $B$ \itemitem {$\bullet $} le quart de cercle $FG$ centré en $C$ \item {} etc\dots , jusqu'à obtenir une dizaine de quart de cercles centrés respectivement en $A$, $B$, $C$, $D$, $A$, $B$, $C$, $D$, etc\dots % \def \epspath {% $HOME/tex_doc/lycee/database/1ere/sti/analyse/suite/} %\epsfxsize = 100mm % $$ \superboxepsillustrate {arit_012.ps} $$ \itemnum On note $R_1, R_2, \ldots , R_n, \ldots $ les rayons successifs des quarts de cercle ainsi dessinés. On a $R_1 = 1$ avec l'unité choisie. \itemitemalph Calculer $R_2$, $R_3$, $R_4$. \itemitemalph Exprimer $R_{n+1}$ en fonction de $R_n$. \itemitemalph Montrer que $(R_n)$ est une suite arithmétique dont on précisera la raison. En déduire $R_n$ en fonction de $n$. \itemnum On note $L_n$ la longueur de la spirale comportant $n$ quarts de cercle. \itemitemalph Calculer $L_1$, $L_2$, $L_3$. \itemitemalph Déterminer $L_n$ en fonction de $n$. \finexo