\exo {La longueur de la spirale} \def \epspath {% $HOME/tex_doc/lycee/database/1ere/sti/analyse/suite/} \epsfxsize = 60mm % $$ \superboxepsillustrate {geom_012.ps} $$ Sur la figure ci-dessus, chacun des demi-cercles a pour diamètre un rayon du demi-cercle précédent. Le but de cet exercice est de calculer la longueur de cette spirale lorsqu'elle est composée de 6~demi-cercles, le rayon du plus grand mesurant 8~cm. On note $r_n$ le rayon du $n$-ième demi-cercle de la spirale ci-dessus, en posant $r_1 = 1$. \itemnum Exprimer $r_{n+1}$ en fonction de $r_n$. \itemnum Montrer que $(r_n)_n$ est une suite géométrique dont on précisera la raison. \itemnum Exprimer $r_n$ en fonction de $n$. \itemnum Répondre au problème posé en introduction. \finexo