\exo {Isolation phonique} L'unité d'intensité du son utilisé dans cet exercice est le décibel (symbole db). Une source sonore émet un son d'intensité 100~décibels ($u_0 = 100$). On appelle $u_n$ l'intensité du son mesuré après la traversée de $n$ plaques d'isolation phonique, sachant que chaque plaque d'isolation absorbe $10\% $ de l'intensité du son qui lui parvient. Par exemple, $$ u_1 = u_0 - {10\over 100} u_0. $$ \itemnum Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$. \itemitemalphnum Déterminer la relation entre $u_{n+1}$ et $u_n$. \itemitemalph Caractériser la suite $(u_n)_n$. \itemitemalph Exprimer $u_n$ en fonction de $u_0$ et de $n$. \itemnum Quelle intensité sonore obtient-t-on avec 10~plaques d'isolation phonique~? \itemnum \` A l'aide d'une calculatrice, déterminer le nombre de plaques nécessaires pour absorber $90\%$~de l'intensité initiale $u_0$. \finexo \corrige {} \itemnum On trouve \dresultat {u_1 = 90}, \dresultat {u_2 = 81} et \dresultat {u_3 = 72, 9} \itemalphnum On a $$ u_{n+1} = u_n - {10\over 100} u_n \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat {u_{n+1} = 0, 9 \times u_n} $$ \itemalph Le rapport entre 2~termes consécutifs est ${u_{n+1} \over u_n} = 0, 9 = $~constante. On a donc une \tresultat {suite géométrique} de \tresultat {raison $0, 9$} et de \tresultat {premier terme $u_0 = 100$}. \itemalph Le cours nous dit alors que l'on a \dresultat {u_n = u_0 \times (0, 9)^n} \itemnum Avec 10~plaques d'isolation phoniques, l'intensité sonore sera donc \dresultat {u_{10} = 100\times (0, 9)^{10} \approx 34, 87} \itemnum Soit $n$ le nombre de plaques nécessaires à l'absorbtion de $90\%$ de l'intensité initiale. On aura alors $u_n = 100 \times (0, 9)^n \leq 10$, soit $(0, 9)^n \leq 0, 1$. Après essais à la calculatrice, on trouve qu'il faut avoir \mresultat {n\geq 22} \fincorrige