\exo {Remboursement d'un emprunt} Pour un prêt de $10\, 000$~Euros remboursable en 6~annuités, un client s'est vu proposer par 2~établissements de crédit les 2~formules suivantes~: \item {} {\sl Première formule\/}~: les 6~annuités sont les 6~premiers termes de la suite arithmétique de premier terme $1\, 025$~Euros et de raison $500$~Euros~; \item {} {\sl Deuxième formule\/}~: les 6~annuités sont les 6~premiers termes de la suite géométrique de premier terme $1\, 530$~Euros et de raison $1, 15$. \itemnum Déterminer, pour la première formule, la somme totale remboursée au bout de six ans. \itemnum Même question qu'au {\bf 1.} avec la deuxième formule. \itemnum Quelle est la formule la plus avantageuse pour le client~? \finexo \corrige {} \itemnum Utilisons la méthode naïve~: on note $u_n$ l'annuité numéro $n$. On a alors $$\hskip -10mm u_1 = 1\, 025, \qquad u_2 = 1\, 525, \qquad u_3 = 2\, 025, \qquad u_4 = 2\, 525, \qquad u_5 = 3\, 025, \qquad u_6 = 3\, 525, $$ et une simple addition nous donne le montant global payé après 6~annuités~: $$\dresultat { u_1 + u_2 + \cdots + u_5 + u_6 = 13\, 650 }$$ \itemnum Restons sur la méthode naïve~: on note $v_n$ l'annuité numéro $n$. On a alors, pour tout entier $n>1$, $v_{n+1}= 1, 15 \times v_n$. D'où $$\hskip -10mm v_1 = 1\, 530, \quad v_2 = 1\, 759, 5 \quad v_3 = 2\, 023,425 \quad v_4 \approx 2\, 326, 939 \quad v_5 \approx 2\, 675, 979 \quad v_6 \approx 3\, 077, 376 $$ et une simple addition nous donne le montant global payé après 6~annuités~: $$\dresultat { v_1 + v_2 + \cdots + v_5 + v_6 \approx 13\, 393, 219\, 8 }$$ \item {} Pour avoir le résultat exact, il faut passer par les formules~: on sait que l'on a une suite géométrique de premier terme $v_1 = 1\, 530 \times$ et de raison $q = 1, 15$. La somme des 6 premiers termes est donc $$\dresultat { S = 1\, 530 \times {1 - (1, 15)^6 \over 1 - 1,15} \approx 13\, 393, 22 }$$ \itemnum Et il est bien évident que c'est la \tresultat {2ème formule} qui est la plus avantageuse pour le client. \fincorrige