\exo{Une dernière équation trigonométrique} \itemitemalph Résoudre dans $\rset$ l'équation suivante~: $$ \cos \big( 2x + \pi \big) = {\sqrt3 \over2} \leqno (E) $$ \itemitemalph Combien faut-il de points distincts sur le cercle trigonométrique pour représenter les solutions~? (On ne demande pas de représenter ces solutions.) \itemitemalph Parmi l'infinité de solutions de l'équation $(E)$, préciser celles qui se trouvent dans l'intervalle $[0, 2\pi]$. \finexo \corrige \itemalph On a $$\displaylines{ \cos (2x + \pi) = {\sqrt3 \over2} \quad \Leftrightarrow \quad \cases{ 2x + \pi = \pi /6 + 2 k \pi \cr \quad {\rm ou} \cr 2x + \pi = -\pi/6 + 2 k \pi \cr}, k \in \zset \quad \Leftrightarrow \quad \cases{ 2x = -5\pi /6 + 2 k \pi \cr \quad {\rm ou} \cr 2x = -7\pi/6 + 2 k \pi \cr}, k \in \zset \cr \dresultat{ \cases{ x = -5\pi /12 + k \pi \cr \quad {\rm ou} \cr x = -7\pi/12 + k \pi \cr}, k \in \zset} \cr}$$ Il y a donc \tresultat{quatres points solutions} sur le cercle trigonométrique (2 pour $-5\pi /12 + k \pi$ et 2~autres pour $-7\pi/12 + k \pi$). \itemalph Dans l'intervalle $[0, 2\pi]$, les solutions sont donc \dresultat{{7\pi \over 12}, {19\pi \over 12}, {5\pi \over 12} {\rm \ et\ } {17\pi \over 12}}. \fincorrige