\exo {Transformation d'écriture -- \' Equation} On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $$ f (x) = \cos x - \sqrt 3 \sin x $$ \itemnum Montrer que $f (x)$ peut également s'écrire $$ f (x) = 2 \cos \left( x + {\pi \over 3} \right) . $$ \itemnum Résoudre dans $\rset $ l'équation $$ \cos (x) - \sqrt 3 \sin (x) = -1. $$ \finexo \corrige \itemnum Développons l'expression proposée. Il vient~: $$ f (x) = 2 \cos \left( x + {\pi \over 3} \right) = 2\left( \cos x \cos {\pi \over 3} - \sin x \sin {\pi \over 3}\right) = 2\left( \cos x \times {1 \over 2} - \sin x \times {\sqrt 3 \over 2}\right) $$ On a donc bien \dresultat { f (x) = 2 \cos \left( x + {\pi \over 3} \right) . } \itemnum Il vient $$ \cos (x) - \sqrt 3 \sin (x) = -1 \quad \Longleftrightarrow \quad f (x) = -1 \quad \Longleftrightarrow \quad \cos \left( x + {\pi \over 3} \right) = -{1\over 2} $$ D'où le système $$ \cases { x + {\pi \over 3} = {2\pi \over 3} + 2k\pi \cr \rm ou &$k\in \zset $ \cr x + {\pi \over 3} = -{2\pi \over 3} + 2k\pi \cr } \quad \Longleftrightarrow \quad \dresultat { \cases { x = {\pi \over 3} + 2k\pi \cr \rm ou &$k\in \zset $ \cr x = -\pi + 2k\pi \cr } } $$ \fincorrige