\exo{Vecteurs, longueurs, équations de droites} Le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O, \vec \imath, \vec \jmath\,)$ d'unité 1~cm (ou 1~grand carreau si vous préférez). \itemnum On donne les points $$ A (-2, 4), \qquad \qquad B (4, 2), \qquad \qquad C (-4, -2). $$ \itemitemalph Placer les points $A$, $B$ et $C$. \itemitemalph Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BC}$. \itemitemalph Calculer les longueurs $AB$, $AC$ et $BC$. \itemitemalph Que peut-on dire du triangle $ABC$~? \itemitemalph Calculer l'aire du triangle $ABC$. \itemitemalphnum Soit $d_1$ la droite d'équation $x-2y=0$. Quel est le coefficient directeur de $d_1$~? Construire $d_1$ sur la figure précédente. \itemitemalph Soit $d_2$ la droite d'équation $\displaystyle{ y = -{1\over3} x + {10 \over3} }$. Quel est le coefficient directeur de $d_2$~? Construire $d_2$ sur la figure précédente. \itemitemalph Les droites $d_1$ et $d_2$ ont-elles un point commun~? Préciser. \itemitemalph \'Etablir une équation cartésienne de $d_3$, la droite passant par les points $A$ et $C$. Dire pourquoi les droites $d_2$ et $d_3$ sont perpendiculaires. Retrouver le résultat de la question {\bf 1.}~{\sl d\/}). \itemitemalphnum Donner une équation de la droite $(AO)$, notée $d_4$. Pourquoi peut-on affirmer que $d_4$ est per\-pen\-di\-cu\-lai\-re à $d_1$~? \itemitemalph Soit $D (2, -4)$. Prouver que $D \in d_4$. \itemitemalph Quelle est la nature du quadrilatère $ABCD~?$ Donner son aire. \finexo