pbm_001.tex

\exo{Géométrie vectorielle}
 
Soit $A$, $B$, $C$ trois points non alignés du plan.
 
\itemnum Que dire du barycentre du système $\{ (A, 2) (B, -2)\}$~?
 
\itemnum Soit $I$ le barycentre du système
$\{ (A, 1) (B, 2) \}$. 
\itemitemalph Exprimer le vecteur 
 $\smash{\overrightarrow{AI}}$ en fonction du vecteur  
$\smash{\overrightarrow{AB}}$.
 
\itemitemalph Construire le point $I$ sur le graphique ci-dessous.
 
\itemnum Soit $J$ le barycentre du système
$\{ (I, 3) (C, 3) \}$.
 
%% \itemitemalph Exprimer le vecteur  $\smash{\overrightarrow{IJ}}$
%% en fonction du vecteur  $\smash{\overrightarrow{IC}}$.
 
\itemitemalph Que peut-on dire du point $J$ par rapport aux points
$I$ et $C$~?
 
\itemitemalph Construire le point $J$ sur le graphique ci-dessous.
 
\unit = 1mm
 
%% on construit le dessin 
 
$$
\boxit{2pt}{\vbox to 90 \unit{
   \vskip 35 \unit
   \hbox to 120 \unit{%
	 \hskip 40 \unit 
	 \point 0 0 A.  
	 \point 35 0 B.  
	 \point 15 42 C. 
	 \hfil}
   \vfil}}
$$
 
\itemnum Soit $G$ le barycentre du système 
$\{ (A, 1) (B, 2) (C, 3) \}$.
 
\itemitemalph Exprimer le vecteur $\smash{\overrightarrow{AG}}$ en fonction des
vecteurs  $\smash{\overrightarrow{AB}}$ et  $\smash{\overrightarrow{AC}}$.
 
\itemitemalph Construire le point $G$ sur le graphique ci-dessus.
 
%% \itemitemalph Que dire du point $G$ par rapport au point $J$~?
%% (Justifier.)
 
\itemnum Soit $G'$ le barycentre du système
$\{ (A, 1) (B, -2) (C, 3) \}$.
 
\itemitemalph Exprimer le vecteur $\smash{\overrightarrow{AG'}}$
en fonction des vecteurs $\smash{\overrightarrow{AC}}$ et 
$\smash{\overrightarrow{BC}}$.
 
\itemitemalph Construire le point $G'$ sur le graphique ci-dessus.
 
\finexo
 
\corrige{}
 
\itemnum Le barycentre du système $\{ (A, 2) (B, -2)\}$ n'existe pas
(ou plutôt~: il n'est pas défini) puisque la somme des poids est
nulle.
 
\let \ov \overrightarrow
 
\itemnum On a
$$
   \ov{AI} + 2 \ov{BI} = \ov{O}
      \qquad \Rightarrow \qquad
    \ov{AI} + 2 (\ov{BA} + \ov{AI}) = \ov{O}
      \qquad \Rightarrow \qquad
   \dresultat{\ov{AI} = {2\over3} \ov{AB}}
$$
 
\itemnum Le point \tresultat{$J$ est au milieu du segment $[IC]$}
      puisque l'on a les mêmes poids en $I$ et en $C$.
 
\itemnum On a, par définition de $G$,
$$
\displaylines{
   \ov{AG} + 2\ov{BG} + 3\ov{CG} = \ov{0}
      \qquad \Rightarrow \qquad
   \ov{AG} + 2\big(\ov{BA} + \ov{AG}\big) + 3\big(\ov{CA} +
      \ov{AG}\big) = \ov{0} 
\cr
      \Rightarrow \qquad
   6\ov{AG} = 2\ov{AB} + 3 \ov{AC}
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat{\ov{AG} = {1\over3} \ov{AB} + {1\over2} \ov{AC}}
\cr
}$$
On peut tout de même remarquer que $G$ est également le barycentre du
système $\{ (I, 3), (C, 3)\}$ (associativité du barycentre), autrement
dit que \tresultat{les points $J$ et $G$ sont confondus}.
 
 
\itemnum De la même façon, on a
$$
\displaylines{
   \ov{AG'} - 2\ov{BG'} + 3\ov{CG'} = \ov{0}
      \qquad \Rightarrow \qquad
   \ov{AG'} - 2\big(\ov{BA} + \ov{AG'}\big) + 3\big(\ov{CB} + \ov{BA}+ \ov{AG'}\big) = \ov{0}
\cr
      \Rightarrow \qquad
   2\ov{AG'} = \ov{AB} + 3 \ov{BC} = \ov{AC} + \ov{CB} + 3 \ov{BC} 
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat{\ov{AG'} = {1\over2} \ov{AC} + \ov{BC}}
\cr
}$$
 
\unit = .07mm
 
%% on construit le dessin 
 
$$
\hbox{On a finalement le dessin suivant~:} 
   \qquad
\vcenter{\boxit{2pt}{\vbox to 900 \unit{
   \eightpoint \rm
   \vskip 140 \unit
   \hbox to 1200 \unit{%
	 \hskip 400 \unit 
	 \point 0 0 A.  
	 \point 350 0 B.
	 \point 233 0 I.
	 \point 191 210 J,G.
	 \point 150 420 C. 
         \point -125 630 G'.
	 \hfil}
   \vfil}}}
$$
 
 
\fincorrige