%% format (plain.tex + fichiers de macro) OU (jpv.tex) %% fichiers de macro basejpv.tex %% sujet equation de cercle %% date 20-01-98 %% auteur jp vignault \exo{\'Equations de cercles en géométrie analytique} Le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O, \vec \imath, \vec \jmath\/)$ (unité graphique~: 1~cm ou 1~grand carreau). On considère les points $A (0, -1)$ et $B (2, 3)$. \itemnum Faire un dessin (que l'on complétera au fur et à mesure des questions). \itemnum Déterminer les coordonnées de $\smash{\overrightarrow{AB}}$, puis calculer $\Vert \smash{\overrightarrow{AB}} \Vert$, $\smash{\overrightarrow{AB}} \cdot \vec \imath$ et $\smash{\overrightarrow{AB}} \cdot \vec \jmath$. \itemnum Montrer qu'une équation de $\cal C$, le cercle de diamètre $[AB]$ est $$ x^2 - 2x + y^2 - 2y - 3 = 0. $$ Préciser son centre $I$ et son rayon $r$. \itemnum Tracer $\cal C$ sur le graphique. \itemnum Les points $J (-1, 2)$ et $K (-5 /4, 1)$ sont-ils sur le cercle $\cal C$~? (Justifier.) \itemnum Déterminer les coordonnées des points d'intersection de $\cal C$ avec les axes du repère. %%% l'axe $0y$ du repère. \finexo \corrige{} \def \epspath{% $HOME/tex_doc/lycee/database/1ere/sti/geometry/cercle/} \epsfxsize = 60mm \rightsuperboxepsillustrate{cerc_006.ps}{-13} % \advance \alphno by 1 % \alph\ On trouve facilement~: $$\displaylines{ \dresultat{\overrightarrow{AB} = \pmatrix{2 \cr 4 \cr}}, \qquad \dresultat{\Vert \overrightarrow{AB} \Vert = \sqrt{20} = 2 \sqrt5}, \cr % \qquad \dresultat{\overrightarrow{AB} \cdot \vec \imath = 2}, \qquad \dresultat{\overrightarrow{AB} \cdot \vec \jmath = 4} \cr }$$ \alph\ Le cercle cherché a pour centre le milieu $I$ de $[AB]$, et son rayon est ${1\over2} \smash{\Vert \overrightarrow{AB} \Vert}$. Comme $I = ({1\over2} (x_A + x_B), {1\over2} (y_A + y_B))$. On a donc pour centre \mresultat{I (1, 1)} et pour rayon \mresultat{r = \sqrt5}. De plus il vient, pour équation de $\cal C$~: $$ \dresultat{{\cal C}~: \quad (x-1)^2 + (y-1)^2 = 5} $$ ce qui donne bien, après développement, l'équation proposée. \advance \alphno by 1 \alph\ Le point \tresultat{$J$ est sur le cercle} car ses coordonnées vérifient l'équation proposée. En revanche, les coordonnées de $K$ ne vé\-ri\-fient pas cette équation, on en déduit que \tresultat{$K$ n'est pas sur $\cal C$}. \alph\ $\bullet$ {\sl Intersection de $\cal C$ avec l'axe $Oy$\/}~: il suffit de résoudre le système $$ \cases{ x = 0 \cr x^2 - 2x + y^2 - 2y - 3 = 0 \cr} \qquad \Longleftrightarrow \qquad \cases{ x = 0 \cr y^2 - 2y - 3 = 0 \cr} \qquad \Longleftrightarrow \qquad \cases{ x = 0 \cr y = 3 \quad {\rm ou} \quad y = -1 \cr} $$ La dernière équivalence provenant du fait que l'équation $y^2 - 2y - 3 = 0$ admet deux solutions $y_1$ et $y_2$ puisque le discriminant $\Delta$ est positif (on trouve $\Delta = 16 = 4^2$). Il n'a donc deux points d'intersection avec l'axe $Oy$~: \tresultat{les point $(0, -1)$ et $(0, 3)$}. $\bullet$ {\sl Intersection de $\cal C$ avec l'axe $Ox$\/}~: il suffit de résoudre le système $$ \cases{ y = 0 \cr x^2 - 2x + y^2 - 2y - 3 = 0 \cr} \qquad \Longleftrightarrow \qquad \cases{ y = 0 \cr x^2 - 2x - 3 = 0 \cr} \qquad \Longleftrightarrow \qquad \cases{ y = 0 \cr x = 3 \quad {\rm ou} \quad x = -1 \cr} $$ Il n'a donc deux points d'intersection avec l'axe $Ox$~: \tresultat{les points $(-1, 0)$ et $(3, 0)$}. \fincorrige