\exo {Produit scalaire dans un espace à 3 dimensions} Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $(O, \vec\imath, \vec \jmath, \vec k)$, on considère les points $$ A (2, 1, 1), \qquad B (4, -2, 2) \qquad C (4, -1, -9) \qquad D (6, -4, -8) $$ %% \itemitemalph Faire une figure en perspective cavalière %% (échelle $1/2$ sur $Ox$, $1$ sinon). \itemitemalph Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow {AB}$, $\overrightarrow {AC}$ et $\overrightarrow {CD}$. Conclusion pour $ABDC$~? \itemitemalph Calculer $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC}$. Conclusion pour $ABDC$~? \itemitemalph Déterminer les distances $AB$ et $AC$. \finexo \corrige {} \itemalph On trouve~: $$ \dresultat {\overrightarrow {AB} = \pmatrix {2\cr -3\cr 1\cr}} \qquad {\rm et} \qquad \dresultat {\overrightarrow {CD} = \pmatrix {2\cr -3\cr 1\cr}} $$ Et comme $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD}$, c'est que \tresultat {$ABDC$ est un parallélogramme}. \itemalph On a $$ \overrightarrow {AB} = \pmatrix {2\cr -3\cr 1\cr} \quad {\rm et} \quad \overrightarrow {AC} = \pmatrix {2\cr -2\cr -10\cr} \qquad {\rm donc} \qquad \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 2\times 2 + (-3)\times (-2) -10 $$ Soit \dresultat {\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 0}. On en déduit que les vecteurs $\overrightarrow {AB}$ et $\overrightarrow {AC}$ sont orthogonaux, et donc que $ABDC$ est un parallélogramme ayant un angle droit. Finalement, \tresultat {$ABDC$ est un rectangle}. \itemalph On a $AB = \Vert \overrightarrow {AB} \Vert $, soit $AB = \sqrt {2^2 + (-3)^2 + 1^2}$, soit \dresultat {AB = \sqrt {14}}. De la même façon, on a $AC = \sqrt {2^2 + (-2)^2 + 10^2}$, soit \dresultat {AC = \sqrt {108}}. \fincorrige