\exo {Changement de base} Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O, \vec\imath, \vec \jmath\,)$ d'unité $1~\cm $. On considère les points $A (3, 3)$ et $B (7, 1)$ et les vecteurs $$ \vec u \left( {\sqrt 2 \over 2}, {\sqrt 2 \over 2}\right) \qquad {\rm et} \qquad \vec v \left( -{\sqrt 2 \over 2}, {\sqrt 2 \over 2}\right) $$ Le but de cet exercice est de déterminer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow {AB}$ dans la base $(O, \vec u, \vec v)$. \def \epspath {% $HOME/tex_doc/lycee/database/1ere/sti/geometry/scalaire/} $$ \epsillustrate {scal_008.ps} $$ \itemnum Représenter les points $A$ et $B$ sur le graphique ci-dessus. \itemitemalphnum Calculer les deux nombres $$ a = \overrightarrow {AB} \cdot \vec \imath \qquad {\rm et} \qquad b = \overrightarrow {AB} \cdot \vec \jmath $$ \itemitemalph Que dire du vecteur $a\vec \imath + b \vec \jmath $~? \itemnum Vérifier que la famille $(\vec u, \vec v)$ est une base orthonormale du plan. Autrement dit, vérifier que les vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ sont bien orthogonaux, et de norme~1. \itemitemalphnum Calculer les deux nombres $$ \alpha = \overrightarrow {AB} \cdot \vec u \qquad {\rm et} \qquad \beta = \overrightarrow {AB} \cdot \vec v $$ \itemitemalph Déterminer les coordonnées du vecteur $\alpha \vec u + \beta \vec v $. Remarque~? \itemitemalph Tracer sur le dessin les vecteur $\alpha \vec u$ et $\beta \vec v$. \finexo \corrige \itemnum \def \epspath {% $HOME/tex_doc/lycee/database/1ere/sti/geometry/scalaire/} $$ \epsillustrate {scal_008a.ps} $$ \itemalphnum On a $$ \overrightarrow {AB} = {7-3\choose 1-3} = {4\choose -2}, \qquad \qquad \vec \imath {1\choose 0} \qquad {\rm et} \qquad \vec \jmath {0\choose 1} $$ d'où $$ a = \overrightarrow {AB} \cdot \vec \imath = {4\choose -2} \cdot {1\choose 0} \quad {\rm soit} \quad \dresultat {a = 4} \qquad {\rm et} \qquad b = \overrightarrow {AB} \cdot \vec \jmath = {4\choose -2} \cdot {0\choose 1} \quad {\rm soit} \quad \dresultat {b = -2} $$ \itemalph On a donc $$ a\vec \imath + b \jmath = 4\vec \imath -2 \vec \jmath = {4\choose -2} \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat {a\vec \imath + b \vec \jmath = \overrightarrow {AB}} $$ \itemnum On a $$ \Vert \vec u \Vert = \sqrt {\left( {\sqrt 2 \over 2}\right) ^2 + \left( {\sqrt 2 \over 2}\right) ^2 } = \sqrt {{2\over 4} + {2\over 4}} = \sqrt 1 \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat {\Vert \vec u \Vert = 1} $$ De façon analogue, on trouve bien \dresultat {\Vert \vec v \Vert = 1}. De plus, $$ \vec u \cdot \vec v = {\sqrt 2 /2\choose \sqrt 2 /2} \cdot {-\sqrt 2 /2\choose \sqrt 2 /2} = - {\sqrt 2 \over 2}\times {\sqrt 2 \over 2} + {\sqrt 2 \over 2}\times {\sqrt 2 \over 2} = 0 \qquad {\rm donc} \qquad \tresultat {$\vec u$ et $\vec v$ sont orthogonaux} $$ Les vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ sont orthogonaux et de norme 1, on a donc bien une base orthonormale du plan. \itemalphnum Il vient $$ \alpha = \overrightarrow {AB} \cdot \vec u = {4\choose -2} \cdot {\sqrt 2 /2\choose \sqrt 2 /2} = {4\sqrt 2 \over 2} - {2\sqrt 2 \over 2} \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat {\alpha = \sqrt 2} $$ et, de la même façon, $$ \beta = \overrightarrow {AB} \cdot \vec v = {4\choose -2} \cdot {-\sqrt 2 /2\choose \sqrt 2 /2} = -{4\sqrt 2 \over 2} - {2\sqrt 2 \over 2} \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat {\beta = -3\sqrt 2} $$ \itemalph Il vient alors $$\displaylines { \alpha \vec u = \sqrt 2 {\sqrt 2 /2\choose \sqrt 2 /2} = \dresultat {{1\choose 1} = \alpha \vec u} \qquad {\rm et} \qquad \beta \vec v = - 3\sqrt 2 {-\sqrt 2 /2\choose \sqrt 2 /2} = {-6 /2\choose 6 /2} = \dresultat {{-3\choose 3} = \beta \vec v} \cr {\rm d'où} \qquad \dresultat {\alpha \vec u + \beta \vec v = {4\choose -2} = \overrightarrow {AB}} \cr }$$ \fincorrige