\exo {Angle de vecteurs} Dans le plan, rapporté à un repère orthonormé $(O, \vec \imath, \vec \jmath\/)$, on considère les vecteurs $$ \vec u {1 \choose 3} \qquad \vec v {-2 \choose 2} $$ %%\itemitemalph Faire une figure. \itemitemalph Calculer $\vec u \cdot \vec v$. \itemitemalph Calculer $\Vert \vec u\Vert$ et $\Vert \vec v\Vert$. \itemitemalph En déduire la valeur exacte de $\cos \widehat{(\vec u, \vec v)}$, puis une valeur approchée, en radian ou en degré, et à $10^{-2}$ près, de chacune des deux valeurs possibles pour $\widehat{(\vec u, \vec v)}$. \finexo \corrige{} \advance \alphno by 1 \itemalph On a $$ {1 \choose 3} \cdot {-2 \choose 2} = 1 \times (-2) + 3 \times 2 \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat{\vec u \cdot \vec v = 4} $$ \itemalph On a $\Vert \vec u\Vert = \sqrt {1^2 + 3^2}$, soit \dresultat {\Vert \vec u\Vert = \sqrt {10}} et $\Vert \vec v\Vert = \sqrt {(-2)^2 + 2^2}$, soit \dresultat {\Vert \vec v\Vert = 2 \sqrt 2}. \itemalph Comme $\vec u \cdot \vec v = \Vert \vec u\Vert \times \Vert \vec u\Vert \times \cos \left( \vec u, \vec v\right) $, il vient $$ \cos \left( \vec u, \vec v\right) = {\vec u \cdot \vec v \over \Vert \vec u\Vert \times \Vert \vec u\Vert } = {4 \over \sqrt {10} \times 2 \sqrt 2} = \dresultat {{1 \over \sqrt 5}} $$ Et on sait que l'on a, à $2k\pi $ près, $(\vec u, \vec v) = \pm \arccos (1 / \sqrt 5)$. \`A la calculatrice, on trouve que cet angle fait à peu près \dresultat {(\vec u, \vec v) \approx \pm 1, 11 \rd } (soit environ $\pm 1, 11 \times {180 \over \pi } \approx \pm 63, 6$ degrés). \fincorrige