\exo {\' Equation rationnelle} Résoudre dans $\rset $ l'équation $$ {x+1 \over x+4} = {1\over x}. $$ \finexo \corrige {} On remarque tout d'abord que l'équation proposée n'a un sens que si \dresultat {x\neq 0} et \dresultat {x\neq -4}. On se place donc sous ces hypothèses dans tout le reste de l'exercice. {\bf 1ère méthode~: le produit en croix}. Il vient $$\displaylines { {x+1 \over x+4} = {1\over x} \quad \Longleftrightarrow \quad x (x+1) = x+4 \quad \Longleftrightarrow \quad x^2 + x - x - 4 = 0 \cr \Longleftrightarrow \quad x^2 - 4 = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad (x-2) (x+2) = 0 \cr }$$ d'où les \tresultat {deux solutions dans $\rset $~: 2 et -2} (puisque l'on a un produit de facteurs égale à $0$). {\bf 2ème méthode~: Réduction au même dénominateur}. Il vient $$\displaylines { {x+1 \over x+4} = {1\over x} \quad \Longleftrightarrow \quad {x+1 \over x+4} - {1\over x} = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad {x^2 + x - x - 4 \over x (x+4)} = 0 \cr \Longleftrightarrow \quad {x^2 - 4\over x (x+4)} = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad {(x-2) (x+2)\over x (x+4)} = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad (x-2) (x+2) = 0 \cr }$$ d'où les \tresultat {deux solutions dans $\rset $~: 2 et -2}. \fincorrige