\exo {Un problème d'aire} Le rectangle $ABCD$ ci-dessous a pour dimensions $AB = 2$ et $BC = 3$. Pour chaque point $M$ du segment $[AB]$ (avec $M\neq A$), on construit le carré $MNPA$ et le rectangle $NQCR$. Où placer le point $M$ pour que le carré et le rectangle aient la même aire~? \def \epspath {% $HOME/tex_doc/lycee/database/2nd/algebre/equations/} \epsfxsize 60mm $$ \superboxepsillustrate {geom_003.ps} $$ \finexo \corrige {} Notons $x$ la longueur $AM$. Le carré $MNPA$ a alors une aire de mesure $x^2$ alors que le rectangle $NQCR$ a une aire de mesure $(2-x) (3-x)$. On est donc amené à résoudre l'équation $$ x^2 = (2-x) (3-x). $$ Il vient alors $$ x^2 = (2-x) (3-x) \qquad \Longleftrightarrow \qquad x^2 = x^2 - 5x + 6 \qquad \Longleftrightarrow \qquad 5x = 6 $$ D'où l'unique solution~: $x = 6/5 = 1, 2$. En conclusion, le point $M$ doît être situé sur le segment $[AB]$, à \tresultat {une distance de $1, 2$ du point $A$}. \fincorrige