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Source de geom_008.tex

Fichier TeX
Image JPEG
\exo {Bande à part}

\def \epspath {%
   $HOME/tex_doc/lycee/database/2nd/algebre/equations/}

\bigskip
\rightsuperboxepsillustrate {geom_008.ps}{7}
Dans le dessin ci-dessous, $ABCD$ est un carré, et on a
$$
   AI = AJ = CK = CL = 10\cm .
$$
L'aire de la nade blanche est égale à $1\m ^2$.

Donner une valeur exacte du côté du carré.

{\sl Remarque}~: $1\cm = 0, 01\m $.

\finexo

\corrige

Posons $x$ la longueur inconnue $JD$, et exprimons toutes les
quantités en mètres.

Les triangles $IBL$ et $KDJ$ sont rectangles isocèles de côté $x$,
cependant que les triangles $AIJ$ et $LCK$ sont rectangles isocèles de
côté $0, 1$. Le carré $ABCD$ est de côté $x+0, 1$.
\def \epspath {%
   $HOME/tex_doc/lycee/database/2nd/algebre/equations/}
$$
   \superboxepsillustrate {geom_008a.ps}
$$

L'aire du carré $ABCD$ étant égale à la somme des aires de ses
parties, il vient
$$\displaylines {
   {\cal A} (ABCD) = {\cal A} (AIJ) + {\cal A} (LCK) + {\cal A} (IBL) + {\cal A} (KDJ)
+ {\cal A} (IJKL)
\cr
   \Longleftrightarrow \quad
   (x+0, 1)^2 = {1\over 2} (0, 1)^2 + {1\over 2} (0, 1)^2 + {1\over 2}
   x^2 + {1\over 2} x^2 + 1
\cr
   \Longleftrightarrow \quad
   x^2 + 2 \times 0, 1 \times x + (0, 1)^2 = (0, 1)^2 + x^2 + 1
\cr
   \Longleftrightarrow \quad
   2 \times 0, 1 \times x = 1
\cr
   \Longleftrightarrow \quad
   x = {1\over 2 \times 0, 1} = {1\over 2 \times {1\over 10}} 
      = {1\over {2\over 10}} 
      = {10\over 2} = 5
\cr
}$$
D'où l'unique solution~: \dresultat {x = 5\m } et le côté du carré est
\dresultat {AB = 5, 1\m }.


\fincorrige