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Source de pol_004.tex

Fichier TeX
\exo {Manipulation d'expressions polynomiales}

On considère l'expression
$$
   E (x) = (2x+1) (x-2) - (x-2) (x+4)
$$

\itemnum Développer $E (x)$.

\itemitemalphnum Factoriser $E (x)$.

\itemitemalph Contrôler votre résultat en développant la forme
factorisée de $E (x)$.

\itemnum Résoudre dans $\rset $ l'équation $E (x) = 0$.

\itemnum Résoudre dans $\rset $ l'équation $E (x) = 6$.

\itemnum Calculer $E (2+\sqrt 3)$.

\finexo

\corrige {}

\itemnum Il vient
$$
   E (x) = 2x^2 - 3x -2 - (x^2 + 2x - 8)
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat {E (x) = x^2 - 5x + 6}.
$$

\itemalphnum En reprenant l'expression initiale, il vient
$$
   E (x) = (2x+1) (x-2) - (x-2) (x+4)
      = (x-2) \big[ (2x+1) - (x+4)\big]
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat {E (x) = (x-2) (x-3)}.
$$

\itemalph Et le développement de cette dernière expression donne bien
      \dresultat {(x-2) (x-3) =x^2 - 5x +6}.

\itemnum On utilise la forme factorisée de $E$, en invoquant le fait
qu'un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs
est nul. On a alors immédiatement~:
$$
   E (x) = 0
      \qquad \Longleftrightarrow \qquad
   (x-2) (x-3) = 0
      \qquad \Longleftrightarrow \qquad
   \tresultat {$x=2$ ou $x=3$}.
$$

\itemnum On utilise cette fois la forme développée de $E$. Il vient
$$
   E (x) = 6
      \quad \Longleftrightarrow \quad
    x^2 - 5x + 6 = 6
      \quad \Longleftrightarrow \quad
    x^2 - 5x = 0
      \quad \Longleftrightarrow \quad
    x (x-5) = 0
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   \tresultat {$x=0$ ou $x=5$}.
$$

%% \itemnum Utilisons la forme développée de $E$. On a
%% $$
%%    E (2+\sqrt 3) = 4 + 4\sqrt 3 + 3 - 10 - 5\sqrt 3 + 6
%% 	 \qquad {\rm soit} \qquad
%%    \dresultat {E (2+\sqrt 3) = 3 - \sqrt 3}
%% $$

\fincorrige