\exo {Manipulation d'expressions polynomiales} On considère l'expression $$ E (x) = (2x+1) (x-2) - (x-2) (x+4) $$ \itemnum Développer $E (x)$. \itemitemalphnum Factoriser $E (x)$. \itemitemalph Contrôler votre résultat en développant la forme factorisée de $E (x)$. \itemnum Résoudre dans $\rset $ l'équation $E (x) = 0$. \itemnum Résoudre dans $\rset $ l'équation $E (x) = 6$. \itemnum Calculer $E (2+\sqrt 3)$. \finexo \corrige {} \itemnum Il vient $$ E (x) = 2x^2 - 3x -2 - (x^2 + 2x - 8) \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat {E (x) = x^2 - 5x + 6}. $$ \itemalphnum En reprenant l'expression initiale, il vient $$ E (x) = (2x+1) (x-2) - (x-2) (x+4) = (x-2) \big[ (2x+1) - (x+4)\big] \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat {E (x) = (x-2) (x-3)}. $$ \itemalph Et le développement de cette dernière expression donne bien \dresultat {(x-2) (x-3) =x^2 - 5x +6}. \itemnum On utilise la forme factorisée de $E$, en invoquant le fait qu'un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul. On a alors immédiatement~: $$ E (x) = 0 \qquad \Longleftrightarrow \qquad (x-2) (x-3) = 0 \qquad \Longleftrightarrow \qquad \tresultat {$x=2$ ou $x=3$}. $$ \itemnum On utilise cette fois la forme développée de $E$. Il vient $$ E (x) = 6 \quad \Longleftrightarrow \quad x^2 - 5x + 6 = 6 \quad \Longleftrightarrow \quad x^2 - 5x = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x (x-5) = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \tresultat {$x=0$ ou $x=5$}. $$ %% \itemnum Utilisons la forme développée de $E$. On a %% $$ %% E (2+\sqrt 3) = 4 + 4\sqrt 3 + 3 - 10 - 5\sqrt 3 + 6 %% \qquad {\rm soit} \qquad %% \dresultat {E (2+\sqrt 3) = 3 - \sqrt 3} %% $$ \fincorrige