%% d'après Terracher, Seconde, chez Nathan, 1994 \exo {Problème d'encadrement} Encadrer les nombres $x+y$, $x\times y$ et $x-y$ sachant que~: $$ {1\over 8} < x < {1\over 7} \qquad \qquad {1\over 7} < y < {1\over 6} $$ (On donnera les résultats en écriture fractionnaire.) \finexo \corrige On a donc $$ {\hbox {\eightpoint \rm (1)}} \quad {1\over 8} < x < {1\over 7} \qquad \qquad {\hbox {\eightpoint \rm (2)}} \quad {1\over 7} < y < {1\over 6} $$ \itemnum Par addition des inégalités $(1)$ et $(2)$, on a $$ {1\over 8} + {1\over 7} < x + y < {1\over 7} + {1\over 6} \quad \Longleftrightarrow \quad {7 + 8\over 8\times 7} < x + y < {6 + 7\over 7\times 6} \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat { {15\over 56} < x + y < {13\over 42} } $$ \itemnum Les inégalités $(1)$ et $(2)$ sont des inégalités entre {\bf des nombres strictement positifs}, ce qui nous autorise à multiplier ces inégalités. On obtient alors $$ {1\over 8} \times {1\over 7} < x + y < {1\over 7} \times {1\over 6} \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat { {1\over 56} < x y < {1\over 42} } $$ \itemnum On a $$ {1\over 7} < y < {1\over 6} \qquad {\rm donc} \qquad -{1\over 7} > -y > - {1\over 6} \qquad \hbox {soit encore} \qquad -{1\over 6} < -y < - {1\over 7} $$ En additionnant cette dernière inégalité avec l'inégalité $(1)$ du texte, on obtient alors $$ {1\over 8} - {1\over 6} < x - y < {1\over 7} - {1\over 7} \quad \Longleftrightarrow \quad {6 - 8\over 8\times 6} < x - y < 0 \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat { -{1\over 24} < x - y < 0 } $$ \fincorrige