\exo {\' Equation et inéquation rationnelle} La fonction $g$ est définie pour tout réel $x$ différent de $1$ par~: $$ g (x) = {2x+1\over x-1}. $$ \itemnum Résoudre dans $\rset $ l'équation~: $g (x) = 3$. \itemnum Résoudre dans $\rset $ l'équation~: $g (x) = 2$. \itemitemalphnum Montrer que résoudre l'inéquation~: $g (x) \geq 4$ revient à résoudre l'inéquation $$ {5-2x\over x-1} \geq 0. $$ \itemitemalph Résoudre dans $\rset $ l'inéquation \quad $ g (x) \geq 4. $ \finexo \corrige \itemnum Il vient $$ g (x) = 3 \quad \Longleftrightarrow \quad {2x+1\over x-1} = 3 \quad \Longleftrightarrow \quad 2x+1 = 3x-3 \quad \Longleftrightarrow \quad \dresultat {x = 4}. $$ \itemnum L'inéquation est plus difficile puisque le produit en croix est interdit (possible seulement pour les équations, comme à la question précédente). Il ne reste que la solution de réduire au même dénominateur pour comparer à zéro. Il vient~: $$ g (x) \geq 4 \quad \Longleftrightarrow \quad {2x+1\over x-1} - 4 \geq 0 \quad \Longleftrightarrow \quad {2x+1\over x-1} - {4 (x-1)\over x-1} \geq 0 \quad \Longleftrightarrow \quad {-2x+5\over x-1} \geq 0. $$ Un tableau de signes permet alors de conclure~: $$\vcenter {\offinterlineskip \eightpoint \rm \halign { % preamble #& \cc {$#$}& \tv #& $#$& \cc {$#$} & \cc {$#$} & \cc {$#$} & \cc {$#$} & \cc {$#$} & $#$ \cr & x && -\infty && 1 && 5/2 &&+\infty \cr \noalign {\hrule } & -2x+5&&& + &\tv & + & 0 & - \cr \noalign {\hrule height 1pt} & x-1 &&& - & 0& + & \tv & + \cr \noalign {\hrule height 1pt} & \rm quotient &&& - & \doublevrule & + & 0 & - \cr \noalign {\hrule } }}$$ d'où~: $g (x) \geq 4$ si et seulement si \dresultat {x \in \, ]1; 5/2]}. \fincorrige