\exo {Inéquation rationnelle} \itemnum Résoudre dans $\rset $ l'équation $$ {x+4\over x+1} = {4\over x}. $$ \itemnum Résoudre dans $\rset $ l'inéquation $$ {x+4\over x+1} \leq {4\over x}. $$ \finexo \corrige \itemnum On remarque tout d'abord que cette équation n'a de sens que pour $x\neq 0$ et $x\neq -1$. Il vient alors $$ {x+4\over x+1} = {4\over x} \quad \Longleftrightarrow \quad x (x+4) = 4 (x+1) \quad \Longleftrightarrow \quad x^2 - 4 = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad (x-2) (x+2) = 0. $$ On a un produit de facteurs égale à zéro, donc l'un des facteurs est nul. D'où les \tresultat {2 solutions~: $2$ et $-2$}. \itemnum Même remarque que précédemment, $x$ doît être différent de $0$ et $-1$. Il vient alors $$ {x+4\over x+1} \leq {4\over x} \quad \Longleftrightarrow \quad {x (x+4)\over x (x+1)} - {4(x+1)\over x(x+1)} \leq 0 \quad \Longleftrightarrow \quad {x^2 - 4\over x (x+1)}\leq 0 \quad \Longleftrightarrow \quad {(x - 2)(x+2)\over x (x+1)}\leq 0 $$ Un tableau de signes permet de conclure~: $$\vcenter {\offinterlineskip \eightpoint \rm \halign { % preamble #& \cc {$#$}& \tv #& $#$& \cc {$#$} & \cc {$#$} & \cc {$#$} & \cc {$#$} & \cc {$#$} & \cc {$#$} & \cc {$#$} & \cc {$#$} & \cc {$#$} & $#$ \cr & x && -\infty && -2 && -1 && 0&& 2 &&+\infty \cr \noalign {\hrule height 1pt} & x-2&&& - &\tv & - &\tv & - &\tv & - & 0 & + \cr \noalign {\hrule } & x+2&&& - & 0 & + &\tv & + &\tv & + & \tv & + \cr \noalign {\hrule } & x+1&&& - & \tv & - & 0 & + &\tv & + & \tv & + \cr \noalign {\hrule } & x&&& - & \tv & - & \tv & - & 0 & + & \tv & + \cr \noalign {\hrule height 1pt} & \rm quotient &&& + & 0 & - & \doublevrule & + & \doublevrule & - & 0 & + \cr \noalign {\hrule } }}$$ d'où la conclusion~: $$ {x+4\over x+1} \leq {4\over x} \qquad \Longleftrightarrow \qquad \dresultat {x \in [-2; -1[ \, \cup \, ]0; 2]}. $$ \fincorrige