\exo {Calculatrice et exactitude} Soit $x$ un nombre réel. On pose $$ A = \sqrt {x^2 + x + 1} - \sqrt {x^2 - x + 1} \qquad {\rm et} \qquad B = {2x \over \sqrt {x^2 + x + 1} + \sqrt {x^2 - x + 1}}. $$ \itemnum Avec une calculatrice, déterminer des valeurs approchées à $10^{-10}$ près de $A$ et $B$ pour~: $$ \alph \ x = 10^4 \qquad \qquad \alph \ x = 10^{18} \qquad \qquad \alph \ x = -3 $$ \itemnum Démontrer par le calcul que $A=B$. \itemnum Comment peut-on expliquer les résultats de la question {\bf 1.}~? \finexo \corrige {} \itemalphnum Pour $x = 10^4$, on trouve avec ma calculatrice \dresultat {A \approx 0, 999\, 999\, 9} et \dresultat {B \approx 0, 999\, 999\, 996\, 3} \itemalph Pour $x = 10^{18}$, on trouve, toujours avec ma calculatrice \dresultat {A \approx 0} et \dresultat {B \approx 1} \itemalph Et enfin pour $x = -3$, on trouve avec la même calculatrice \dresultat {A \approx -0, 959\, 799\, 964} et \dresultat {B \approx -0, 959\, 799\, 964} \itemnum Cherchons à écrire $B$ sans radical au dénominateur. Il vient $$\eqalign { B &= {2x \over \sqrt {x^2 + x + 1} + \sqrt {x^2 - x + 1}} \cr &= {2x (\sqrt {x^2 + x + 1} - \sqrt {x^2 - x + 1})\over (\sqrt {x^2 + x + 1} + \sqrt {x^2 - x + 1}) (\sqrt {x^2 + x + 1} - \sqrt {x^2 - x + 1})} \cr &= {2x (\sqrt {x^2 + x + 1} - \sqrt {x^2 - x + 1})\over (\sqrt {x^2 + x + 1})^2 - (\sqrt {x^2 - x + 1})^2} \cr &= {2x (\sqrt {x^2 + x + 1} - \sqrt {x^2 - x + 1})\over x^2 + x + 1 - x^2 + x - 1} \cr &= {2x (\sqrt {x^2 + x + 1} - \sqrt {x^2 - x + 1})\over 2x} = \sqrt {x^2 + x + 1} - \sqrt {x^2 - x + 1} \cr }$$ Soit \dresultat {A = B}. \item {} {\bf Autre méthode~:} Il vient $$\eqalign { A = B \quad &\Longleftrightarrow \quad \sqrt {x^2 + x + 1} - \sqrt {x^2 - x + 1} = {2x \over \sqrt {x^2 + x + 1} + \sqrt {x^2 - x + 1}} \cr &\Longleftrightarrow \quad \left( \sqrt {x^2 + x + 1} + \sqrt {x^2 - x + 1}\right) \left( \sqrt {x^2 + x + 1} - \sqrt {x^2 - x + 1} \right) = 2x \cr &\Longleftrightarrow \quad \left( \sqrt {x^2 + x + 1}\right)^2 - \left(\sqrt {x^2 - x + 1} \right) ^2 = 2x \cr &\Longleftrightarrow \quad \left(x^2 + x + 1\right) - \left(x^2 - x + 1 \right) = 2x \cr &\Longleftrightarrow \quad x^2 + x + 1 - x^2 + x - 1 = 2x \cr &\Longleftrightarrow \quad 2x = 2x \cr }$$ La dernière égalité est toujours vraie, donc la première l'est aussi et \dresultat {A = B}. \itemnum Les étrangetés observées dans la question {\bf 1.} proviennent des \tresultat {erreurs d'arrondis} dans la calculatrice. \fincorrige