\exo {Expressions et équations polynomiales} On considère l'expression $$ C = (3x-1) ^2 - (3x-1) (2x+3). $$ \itemnum Déterminer l'écriture développée puis réduite de $C$. \itemnum Déterminer l'écriture factorisée de $C$. \itemnum Résoudre dans $\rset $ l'équation $$ (3x-1) (x-4) = 0. $$ \finexo \corrige \itemnum Il vient $$\eqalign { C &= (3x-1) ^2 - (3x-1) (2x+3) \cr &= 9x^2 - 6x + 1 - (6x^2 + 7x - 3) \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat {C = 3x^2 - 13x + 4} \cr }$$ \itemnum Pour factoriser, on remarque que $(3x-1)$ est un facteur commun. Il vient alors $$ C = (3x-1) ^2 - (3x-1) (2x+3) = (3x-1) \big( 3x-1-2x-3\big) \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat {C = (3x-1)(x-4)} $$ \itemnum On sait bien qu'un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul. L'équation à résoudre donne donc immédiatement~: $$\displaylines { (3x-1) (x-4) = 0. \quad \Longleftrightarrow \quad (3x-1) = 0 \qquad {\rm ou} \qquad (x-4) = 0 \cr x = {1\over 3} \qquad {\rm ou} \qquad x = 4 \cr }$$ d'où les \tresultat {deux solutions~: $x = 1/3$ et $x=4$}. \fincorrige