\exo {Le crible d'\'Eratosthène} \'Eratosthène de Cyrène ($-276$ av J.C.), est un astronome, mathématicien et géographe grec. Surtout connu pour son {\sl crible\/}, on lui doît aussi la première mesure (relativement) exacte de la circonférence de la Terre en déterminant sur le terrain l'amplitude de l'arc de méridien compris entre Syène et Alexandrie; il obtint ainsi $250 \, 000$ stades (près de $40 \, 000$ kilomètres). Le {\sl crible d'\'Eratosthène\/} est une méthode permettant de déterminer la liste des nombres premiers \og pas trop grand\fg . Elle est basée sur la remarque suivante~: \og si $x$ est un nombre entier, alors les multiples de $x$ ne sont pas des nombres premiers\fg . En effet, si $x = 2$ par exemple, alors $4 = 2\times 2$, $6 = 2\times 3$, $8 = 2\times 4$, etc\dots ne sont pas des nombres premiers. Voici la description de cette méthode~: \item {\bf 1 $\bullet $} Dans le tableau ci-dessous, {\bf on entoure le plus petit nombre non rayé}. Ce nombre est premier puisqu'il n'est divisible par aucun entier plus petit que lui, excepté le $1$. \item {\bf 2 $\bullet $} On raye ensuite tous les multiples du nombre que l'on vient d'entourer. \item {\bf 3 $\bullet $} S'il reste dans le tableau des nombres ni rayés ni entourés, alors on recommence à l'étape {\bf 1.}, sinon on arrête. Ainsi, la première fois on va entourer le $2$ et rayer $4, 6, 8, 10, \dots , 100$. La seconde fois on va entourer le $3$ et rayer $6, 9, 12, \dots , 99$, etc\dots \`A l'aide du tableau ci-dessous, et en utilisant la méthode du {\sl crible d'\'Eratosthène\/}, déterminer tous les nombres premiers plus petits que $100$. $$ \vbox{ \eightpoint \rm \def \trait{\noalign{\hrule}} \offinterlineskip \halign{% \tv #& \tvi \hfq #\hfq && \tv #& \hfq #\hfq \cr \trait & 1\hskip -7pt \lower 2pt \hbox {\fourteenpoint \rm X}&& 2&& 3&& 4&& 5&& 6&& 7&& 8&& 9&& 10& \cr \trait & 11&& 12&& 13&& 14&& 15&& 16&& 17&& 18&& 19&& 20& \cr \trait & 21&& 22&& 23&& 24&& 25&& 26&& 27&& 28&& 29&& 30& \cr \trait & 31&& 32&& 33&& 34&& 35&& 36&& 37&& 38&& 39&& 40& \cr \trait & 41&& 42&& 43&& 44&& 45&& 46&& 47&& 48&& 49&& 50& \cr \trait & 51&& 52&& 53&& 54&& 55&& 56&& 57&& 58&& 59&& 60& \cr \trait & 61&& 62&& 63&& 64&& 65&& 66&& 67&& 68&& 69&& 70& \cr \trait & 71&& 72&& 73&& 74&& 75&& 76&& 77&& 78&& 79&& 80& \cr \trait & 81&& 82&& 83&& 84&& 85&& 86&& 87&& 88&& 89&& 90& \cr \trait & 91&& 92&& 93&& 94&& 95&& 96&& 97&& 98&& 99&& 100& \cr \trait }} $$ \finexo