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Source de rac_016.tex

Fichier TeX
\exo {\' Egalité de deux nombres}

Démontrer que
$$
   {\sqrt 8 + 33\over 7-\sqrt 2}  = \sqrt 2 + 5.
$$

\finexo

\corrige

%% Essayons d'écrire la fraction du premier membre sans radical au
%% dénominateur. Il vient~:

Pour montrer l'égalité de 2~nombres, il suffit de montrer que leur
différence est nulle. En remarquant que $\sqrt 8 = 2\sqrt 2$, il vient
alors 
$$\eqalign {
   {\sqrt 8 + 33\over 7-\sqrt 2}  = \sqrt 2 + 5
      \quad &\Longleftrightarrow \quad
   {\sqrt 8 + 33\over 7-\sqrt 2}  - (\sqrt 2 + 5) = 0
\cr
      &\Longleftrightarrow \quad
   {2\sqrt 2 + 33\over 7-\sqrt 2}  - {(\sqrt 2 + 5)(7-\sqrt 2)\over 7-\sqrt 2} = 0
\cr
      &\Longleftrightarrow \quad
   {2\sqrt 2 + 33 - (7\sqrt 2 - 2 +35 -5\sqrt 2)\over 7-\sqrt 2} = 0
\cr
      &\Longleftrightarrow \quad
   {2\sqrt 2 + 33 - (2\sqrt 2 +33)\over 7-\sqrt 2} = 0
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   0 = 0
\cr
}$$
La dernière égalité étant toujours vraie, la première l'est aussi, et
on a bien \tresultat {la propriété demandée}.

{\bf Autre méthode~:} on multiplie la fraction ${\sqrt 8 + 33\over 7-\sqrt
2}$ \og en haut et en bas \fg {} par $(7+\sqrt 2)$, et on vérifie que
l'on obtient bien $5+\sqrt 2$ après calculs.

\fincorrige