\exo {Données manquantes, calcul de médiane} \itemnum Soit $x$ et $y$ deux réels. Résoudre le système $$ \cases { x + y = 50 \cr 2 x + 3y = 123 \cr } $$ \itemnum Un test comporte 5~questions valant chacune 1~point. On dispose d'un tableau donnant les résultats des candidats. Les effectifs qui correspondent aux notes $2$ et $3$ manquent et sont notées $a$ et $b$. $$ \vcenter {\offinterlineskip \halign { %% preamble #\tv && \cc {$#$}& #\tv \cr \noalign {\hrule } &\rm note&&0 && 1&& 2&& 3&& 4&& 5& \cr \noalign {\hrule } &\rm effectif&& 5&& 19&& a&& b&& 17&& 9& \cr \noalign {\hrule } }} $$ On sait que l'effectif total est $100$ et que la moyenne des notes est $2, 55$. \itemitemalph Calculer les entiers $a$ et $b$. \itemitemalph Quelle est la médiane de cette série statistique~? \finexo \corrige \itemnum Il vient $$ \matrix { \scriptstyle (1) \cr \scriptstyle (2) \cr } \cases { x + y = 50 \cr 2x + 3y = 123 \cr } \quad \Longleftrightarrow \quad \matrix { \scriptstyle (1) \cr \scriptstyle (2) - 2\times (1) \cr } \cases { x + y = 50 \cr y = 23 \cr } \qquad {\rm d'où} \qquad \dresultat {(x, y) = (27, 23)} $$ \itemalphnum Il y a deux inconnues $a$ et $b$. Il nous faut donc trouver 2~équations, or nous avons 2~hypothèses~: $$ \cases { & l'effectif est 100 \cr & la moyenne est $2, 55$ \cr } \quad \Longleftrightarrow \quad \cases { 5 + 19 + a + b + 17 + 9 = 100 \cr (0 + 19 + 2a + 3b + 68 + 45)/100 = 2, 55 \cr } \quad \Longleftrightarrow \quad \matrix { \scriptstyle (1) \cr \scriptstyle (2) \cr } \cases { a + b = 50 \cr 2a + 3b = 123 \cr } $$ On retrouve le système de la question {\bf 1.}, ce qui permet de conclure~: \dresultat {(a, b) = (27, 23)} \itemalph La médiane est \dresultat {{\rm Me} = 2}. \fincorrige