\exo {Moyenne, médiane, étendue} {\sl Les trois questions de cet exercice sont indépendantes}. Un professeur a corrigé $31$~copies. La moyenne est $9, 4$, la médiane est $10$, les notes extrêmes sont $4$ et $18$. \itemnum Il envisage de remonter toutes les notes d'un point. Que deviendraient la moyenne, la médiane et l'étendue~? \itemnum Il envisage une autre solution~: remonter toutes les notes de $10\% $. Que deviendraient la moyenne, la médiane et l'étendue~? \itemitemalphnum Il corrige les copies de deux élèves retardataires auxquels il attribue les notes $8$ et $13$. Déterminer la nouvelle moyenne. \itemitemalph Peut-on trouver la nouvelle médiane~? (Justifier.) \finexo \corrige \itemnum Du fait de la linéarité de la moyenne, la nouvelle moyenne sera elle même augmentée de $1$. Il est relativement clair que la médiane sera également augmentée de $1$ alors que l'étendue restera identique (les notes extrêmes devenant $5$ et $19$). Finalement, on aura $$ \dresultat {\overline x = 10, 4} \qquad \qquad \dresultat {\Me = 11} \qquad {\rm et}\qquad \tresultat {étendue $= 14$} $$ \itemnum Augmenter les notes de $10\% $ revient à les multiplier toutes par $1, 10$. Du fait de la linéarité de la moyenne, la nouvelle moyenne sera elle même multipliée par $1, 10$. \item {} Il est relativement clair que la médiane sera également multipliée par $1, 1$. En effet, si $a<b<c$, alors $1, 1a<1, 1b<1, 1c$. \item {} Quand à la nouvelle étendue, elle sera de $1, 1\times 18 - 1, 1\times 4$.Finalement, on aura $$ \dresultat {\overline x = 1, 1 \times 9, 4 = 10, 34} \qquad \qquad \dresultat {\Me = 12, 4} \qquad {\rm et}\qquad \tresultat {étendue $= 15, 4$} $$ \itemnum Nous avions 31 copies pour une moyenne de $9, 4$. La somme des $31$ notes était donc $S = 31 \times 9, 4 = 291, 4$. Avec les deux nouvelles copies, la moyenne sera donc $$ \overline x = {S + 8 + 13\over 33} = {312, 4\over 33} \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat {\overline x \approx 9, 46} $$ Et la nouvelle médiane sera \dresultat {\Me = 10} puisque, sur les 31 notes de départ, $15$ sont inférieures ou égales à $10$ et $15$ sont supérieures ou égales à $10$. Comme $8<10$ et $13>10$, il est clair que sur le nouvel ensemble de $33$ notes, nous en aurons $16$ inférieures ou égales à $10$ et $16$ supérieures ou égales à $10$. \fincorrige