\exo {Algèbre~: équations diverses} \itemnum Résoudre dans $\rset $ l'inéquation \quad $\displaystyle {2-x\over 3x - 2} \geq 0 $. \itemnum Résoudre dans $\rset $ l'équation \quad $|x+3| = 4$. \itemnum Résoudre dans $\rset $ l'inéquation \quad $|x-2| < 5$. \itemnum On sait que $$ \cos x = {4\over 5} \qquad {\rm avec} \qquad x \in \left[ -{\pi \over 2}; 0\right]. $$ Calculer la valeur exacte de $\sin x$. \finexo \corrige \itemnum Le tableau de signes s'impose. Il vient~: $$\vcenter {\offinterlineskip \eightpoint \rm \halign { % preamble \tv #& \cc {$#$}& \tv #& $#$& \cc {$#$} & \cc {$#$} & \cc {$#$} & \cc {$#$} & \cc {$#$} & $#$ \cr & x && -\infty && 2/3 && 2 &&+\infty \cr \noalign {\hrule height 1pt} & 2 - x &&& + & \tv & + & 0 & - \cr \noalign {\hrule } & 3x - 2 &&& - & 0 & + & \tv & + \cr \noalign {\hrule height 1pt} & \rm quotient &&& - & \doublevrule & + & 0 & - \cr \noalign {\hrule } }}$$ d'où l'ensemble des solutions~: \dresultat {{\cal S} = \left] {2\over 3}; 2\right]}. \itemnum L'équation $|x+3| = 4$ se lit \og \sl la distance de $x$ à $-3$ est $4$\fg . Un simple dessin permet alors de conclure~: il y a \tresultat {2~solutions~: $1$ et $-7$}. \itemnum L'inéquation $|x-2| < 5$ se lit \og \sl la distance de $x$ à $2$ est strictement inférieure à $5$\fg . \def \epspath {% $HOME/tex_doc/lycee/database/2nd/algebre/vrac/} $$ \epsillustrate {synt_001.ps} $$ On lit immédiatement l'ensemble des solutions~: \dresultat {{\cal S} = ]-3 ; 7[.} \itemnum En utilisant la relation $\cos ^2 x + \sin ^2 x = 1$, il vient $$ \sin ^2 x + \left( {4\over 5}\right) ^2 = 1 \quad \Longleftrightarrow \quad \sin ^2 x = 1 - {16\over 25} = {9\over 25} \quad \Longleftrightarrow \quad \sin x = {3\over 5} \quad {\rm ou} \quad \sin x = -{3\over 5}. $$ Or l'on sait que $x$ est dans l'intervalle $[-\pi /2; 0]$, donc son sinus est négatif. On en déduit alors \dresultat {\sin x = -3/5}. \fincorrige