\exo {\' Equations de droites, représentations de fonctions} \itemnum Les $3$~droites ci-dessous sont des courbes représentatives de fonctions affines $f_1$, $f_2$ et $f_3$. Déterminer, pour chacune d'entre elles, l'expression de la fonction affine représentée. \def \epspath {% $HOME/tex_doc/lycee/database/2nd/analyse/fonctions/} $$ \superboxepsillustrate {aff_009a.ps} $$ \itemnum Dans le repère ci-dessus, représenter les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ définies repectivement sur $\rset $ par $$ f (x) = - {x\over 2} +4 \qquad {\rm et} \qquad g (x) = 2x - 4. $$ \itemnum On considère maintenant la fonction $h$ définie pour tout $x$ réel par $$ h (x) = -x^2 +2x +4. $$ Compléter le tableau de valeurs suivant et représenter point par point la courbe représentative de la fonction $h$ sur le graphique ci-dessus. $$\vcenter {\offinterlineskip \def \cc#1{% \hbox to 10.5mm {\hfill #1\hfill }} \halign { % preamble #\tv && \cc {$#$}& #\tv \cr \noalign {\hrule } & x&& -3&& -2&& -1, 5&& -1&& -0, 5&& 0&& 0, 5&& 1&& 1,5&& 2&& 3& \cr \noalign {\hrule } & h (x)&& && && && && && && && && && && & \cr \noalign {\hrule } }} $$ \finexo \corrige {} \itemnum Les fonctions $f_1$, $f_2$ et $f_3$ sont affines, donc elles ont une expression du type $$ f_1 (x) = a_1 x + b_1 \qquad \qquad f_2 (x) = a_2 x + b_2. \qquad {\rm et} \qquad f_3 (x) = a_3 x + b_3. $$ \item {} $\bullet $ Les point $A (1;2)$ et $B (-1; 1)$ sont sur la courbe de $f_1$. D'où $$ a_1 = {\Delta y\over \Delta x} = {1-2\over -1 - 1} = {1\over 2}. $$ Et comme $f_1 (1) = 2$, on a $$ 2 = {1\over 2} \times 1 + b_1 \qquad {\rm d'où} \qquad b_1 = {3\over 2}. $$ En conclusion\dresultat {f_1 (x) = {1\over 2} x + {3\over 2}}. \item {} $\bullet $ En raisonnant de la même façon, on trouve $(a_2, b_2) = (0, -2)$, soit \dresultat {f_2 (x) = -2}. \item {} $\bullet $ Pour la droite $D_3$, utilisons les points $C (-1; 2)$ et $D (2; 1)$. La méthode utilisée pour $D_1$ nous donne facilement $a_3 = -1/3$. Rest à utiliser le fait que $D$ est sur $D_3$ pour obtenir l'équation $$ 1 = 2 a_3 + b_3 \quad \Longrightarrow \quad 1 = 2 \times {-1\over3} + b_3 \quad \Longrightarrow \quad b = {5\over 3} \qquad {\rm d'où} \qquad \dresultat {f_3 (x) = -{1\over 3} x + {5\over 3}}. $$ \def \epspath {% $HOME/tex_doc/lycee/database/2nd/analyse/fonctions/} \itemnum $$ \superboxepsillustrate {aff_009b.ps} $$ \itemnum $$\vcenter {\offinterlineskip \def \cc#1{% \hbox to 10.5mm {\hfill #1\hfill }} \halign { % preamble #\tv && \cc {$#$}& #\tv \cr \noalign {\hrule } & x&& -3&& -2&& -1, 5&& -1&& -0, 5&& 0&& 0, 5&& 1&& 1,5&& 2&& 3& \cr \noalign {\hrule } & h (x)&& -11&& -4&& -1, 25&& 1&& 2.75&& 4&& 4,75&& 5&& 4, 75&& 4&& 1& \cr \noalign {\hrule } }} $$ \fincorrige