\exo {Déterminer l'expression d'une fonction affine} Soit $f$ une fonction affine $$ f (x) = ax+b $$ où $a$ et $b$ sont des constantes réelles. Déterminer les valeurs de $a$ et $b$ telles que l'on ait $$ f (\sqrt 3) = 1 \qquad {\rm et} \qquad f (1) + f (\sqrt 3) = \sqrt 3 - 1 $$ \finexo \corrige On a deux inconnues $a$ et $b$. Les deux hypothèses vont nous donner deux équations. Un système nous permettra de conclure. Il vient donc $$\displaylines { \cases { f (\sqrt 3) = 1 \cr f (1) + f (\sqrt 3) = \sqrt 3 - 1 \cr } \quad \Longleftrightarrow \quad \matrix { \eightpoint\rm (1) \cr \eightpoint\rm (2) \cr } \cases { a\sqrt 3 + b = 1 \cr a + b + a\sqrt 3 + b = \sqrt 3 - 1 \cr } \quad \Longleftrightarrow \quad \matrix { \eightpoint\rm (1) \cr \eightpoint\rm (2) - 2 \times (1) \cr } \cases { a\sqrt 3 + b = 1 \cr a - a\sqrt 3 = \sqrt 3 - 3 \cr } \cr \Longleftrightarrow \quad \cases { a\sqrt 3 + b = 1 \cr a ( 1- \sqrt 3) = \sqrt 3 - 3 \cr } \quad \Longleftrightarrow \quad \cases { a\sqrt 3 + b = 1 \cr a = {\sqrt 3 - 3\over 1- \sqrt 3} = {(\sqrt 3 - 3)(1+ \sqrt 3)\over (1- \sqrt 3)(1+ \sqrt 3)} \cr } \quad \Longleftrightarrow \quad \cases { 3 + b = 1 \cr a = \sqrt 3 \cr } \cr }$$ d'où l'expression de $f$~: \dresultat {f (x) = \sqrt 3 x - 2}. \fincorrige