\exo {Une fonction polynome du second degré} On considère la fonction $f$ définie sur $[-10; 10]$ par $$ f (x)= x^2 - 4x -1. $$ On désigne par $C_f$ sa courbe représentative. \let \partie \llappartie \let \partie \centerpartie \partie {A -- Par le calcul} \itemnum Quelle est l'image par $f$ de $3$~? de $2-2\sqrt 2$~? \itemnum Déterminer les antécédents éventuels de $-1$ et de $-5$ par $f$ \itemnum Un point de $C_f$ a pour abscisse $-2$~; quelle est son ordonnée~? \itemnum On voudrait savoir s'il existe des points dont l'ordonnée est $4$. \itemitemalph Quelle équation doit-on résoudre~? \itemitemalph Répondre au problème posé après avoir développé l'expression $(x+1) (x-5)$. \partie {B -- Avec une calculatrice} Le plan est rapporté à un repère orthonormal $(O, \vec \imath , \vec \jmath )$. \itemnum \` A l'aide d'une calculatrice, remplir le tableau de valeurs suivant~: $$\vcenter {\offinterlineskip \def \cc#1{% \hbox to 12truemm {\hfill #1\hfill }} \halign { % preamble #\tv && \cc {$#$}& #\tv \cr \noalign {\hrule } & x&& -2&& -1, 5&& -1&& 0&& 0, 5&& 1&& 1, 5&& 2&& 3&& 3,5&& 4&& 5&& 6& \cr \noalign {\hrule } & f (x)&& && && && && && && && && && && && && & \cr \noalign {\hrule } }} $$ \itemnum En vous servant du tableau de valeurs, construire la courbe représentative de la fonction $f$. \finexo \corrige {} \let \partie \llappartie \partie {A} % \vskip -7mm \itemnum On trouve \dresultat {f (3) = -4} et \dresultat {f (2-2\sqrt 2) = 3}. \itemnum $\bullet $ Dire que le nombre $x$ est un antécédent de $1$ par $f$ revient à dire que $x$ est solution de l'équation $f (x) = 1$. D'où la résolution~: $$ x^2 - 4x - 1 = -1 \qquad \Longleftrightarrow \qquad x^2 - 4x = 0 \qquad \Longleftrightarrow \qquad x (x - 4) = 0 $$ d'où les \tresultat {2~solutions~: $x = 0$ et $x=4$} puisque que l'on a un produit de facteurs égal à zéro. \item {} $\bullet $ De la même façon, on est amené à résoudre l'équation $$ x^2 - 4x - 1 = -5 \qquad \Longleftrightarrow \qquad x^2 - 4x + 4 = 0 \qquad \Longleftrightarrow \qquad (x - 2)^2 = 0 $$ d'où \tresultat {l'unique solution~: $x=2$}. \itemnum Un point est sur la courbe si et seulement si ses coordonnées $(x, y)$ vérifient l'équation $y = f (x)$. L'ordonnée cherchée est donc $y = f (-2)$, soit \dresultat {y = 11}. \itemalphnum Même problème qu'à la question {\bf 2.} L'équation à résoudre est \dresultat {f (x) = 4}. \itemalph Après avoir développé \dresultat {(x+1)(x-5) = x^2 - 4x - 5}, la résolution de l'équation donne~: $$ f (x) = 4 \quad \Longleftrightarrow \quad x^2 - 4x - 1 = 4 \quad \Longleftrightarrow \quad x^2 - 4x -5 = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad (x+1) (x - 5) = 0 $$ d'où les \tresultat {2~solutions~: $x = -1$ et $x=5$} puisque que l'on a un produit de facteurs égal à zéro. \partie {B} % \vskip -5mm \itemnum On obtient $$\vcenter {\offinterlineskip \def \cc#1{% \hbox to 12truemm {\hfill #1\hfill }} \halign { % preamble #\tv && \cc {$#$}& #\tv \cr \noalign {\hrule } & x&& -2&& -1, 5&& -1&& 0&& 0, 5&& 1&& 1, 5&& 2&& 3&& 3,5&& 4& \cr \noalign {\hrule } & f (x)&& 11&& 7, 25&& 4&& -1&& -2, 75&& -4&& -4, 75&& -5&& -4&& -2, 75&& -1& \cr \noalign {\hrule } }} $$ \def \epspath {% $HOME/tex_doc/lycee/database/2nd/analyse/fonctions/} \itemnum D'où la courbe~: $$ \superboxepsillustrate {graph_001.ps} $$ \fincorrige