Retour

Source de graph_002.tex

Fichier TeX
Image JPEG
\exo {Une fonction polynome du second degré}

On considère la fonction $f$ définie sur $[-10; 10]$ par
$$
   f (x)= x^2 - 4x -1.
$$
On désigne par $C_f$ sa courbe représentative.

\let \partie \llappartie
\let \partie \centerpartie

\partie {A -- Avec une calculatrice}

Le plan est rapporté à un repère orthonormal $(O, \vec \imath
, \vec \jmath )$.

\itemnum \` A l'aide d'une calculatrice, remplir le tableau de
      valeurs suivant~:
$$\vcenter {\offinterlineskip 
   \def \cc#1{%
      \hbox to 12truemm {\hfill #1\hfill }}
\halign {
   % preamble
      #\tv && \cc {$#$}& #\tv
   \cr
   \noalign {\hrule }
      & x&& -2&& -1, 5&& -1&& 0&& 0, 5&& 1&& 1, 5&& 2&& 3&& 3,5&& 4& 
   \cr
   \noalign {\hrule }
      & f (x)&& && && && && && && && && && && & 
   \cr
   \noalign {\hrule }
}}
$$

\itemnum En vous servant du tableau de valeurs, construire la
courbe représentative de la fonction $f$.

\itemitemalphnum Résoudre graphiquement l'équation $f (x) = 2$.

\itemitemalph Résoudre graphiquement l'inéquation $f (x) \leq -1$.

\partie {B -- Par le calcul}

\itemnum Quelle est l'image par $f$ de $3$~? de $2-2\sqrt 2$~?

\itemnum Déterminer les antécédents éventuels de $-1$ par $f$.

\itemnum Résoudre l'inéquation $f (x) \leq -1$.

\itemnum On voudrait savoir s'il existe des points dont l'ordonnée est
$4$.

\itemitemalph Quelle équation doit-on résoudre~?

\itemitemalph Répondre au problème posé après avoir développé
l'expression $(x+1) (x-5)$.

\finexo

\corrige {}

\let \partie \llappartie

\partie {A}
%
\vskip -5mm
\itemnum On obtient
$$\vcenter {\offinterlineskip 
   \def \cc#1{%
      \hbox to 12truemm {\hfill #1\hfill }}
\halign {
   % preamble
      #\tv && \cc {$#$}& #\tv
   \cr
   \noalign {\hrule }
      & x&& -2&& -1, 5&& -1&& 0&& 0, 5&& 1&& 1, 5&& 2&& 3&& 3,5&& 4& 
   \cr
   \noalign {\hrule }
      & f (x)&& 11&& 7, 25&& 4&& -1&& -2, 75&& -4&& -4, 75&& -5&& -4&&
-2, 75&& -1& 
   \cr
   \noalign {\hrule }
}}
$$

\def \epspath {%
   $HOME/tex_doc/lycee/database/2nd/analyse/fonctions/}

\itemnum D'où la courbe~:
$$
   \superboxepsillustrate {graph_002.ps}
$$

\itemalphnum Graphiquement, les solutions de l'équation $f (x) = 2$
correspondent aux abscisses des points d'intersections de la courbe
d'équation $y = f (x)$ avec la droite horizontale d'équation $y =
2$. D'où les deux solutions~: \tresultat {$x_1 \approx -0, 6$ et
$x_2\approx 4, 6$} .

\itemalphnum Graphiquement, les solutions de l'inéquation $f (x) \leq -1$
correspondent aux abscisses des points de la courbe
d'équation $y = f (x)$ situés en-dessous de la droite horizontale d'équation $y =
-1$. D'où les solutions~: \dresultat {x \in [0;4]} .

\partie {B}
%
\vskip -7mm
\itemnum On trouve \dresultat {f (3) = -4} et \dresultat {f (2-2\sqrt
2) = 3}.

\itemnum $\bullet $ Dire que le nombre $x$ est un antécédent de $1$ par $f$
revient à dire que $x$ est solution de l'équation $f (x) = 1$. D'où la
résolution~:
$$
   x^2 - 4x - 1 = -1
      \qquad \Longleftrightarrow \qquad
   x^2 - 4x = 0
      \qquad \Longleftrightarrow \qquad
   x (x - 4) = 0
$$
d'où les \tresultat {2~solutions~: $x = 0$ et $x=4$} puisque que l'on
a un produit de facteurs égal à zéro.

\itemnum Il vient 
$$
   f (x) \leq -1
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   x^2 - 4x -1 \leq -1
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   x^2 - 4x \leq 0
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   x (x - 4) \leq 0
$$
d'où le tableau de signes~:
$$\vcenter {\offinterlineskip
   \eightpoint \rm
   \halign {
   % preamble
      #& \cc {$#$}& \tv #& $#$&
         \cc {$#$} & \cc {$#$} & \cc {$#$} & \cc {$#$} & \cc {$#$} 
      & $#$
   \cr
      & x && -\infty && 0 && 4 &&+\infty
   \cr
   \noalign {\hrule height 1pt}
      & x-4 &&& + &\tv & + & 0 & -
   \cr
   \noalign {\hrule }
      & x &&& - & 0& + & \tv & +
   \cr
   \noalign {\hrule height 1pt}
      & \rm produit &&& - & 0 & + & 0 & -
   \cr
}}$$
qui permet de conclure~: $f (x) \leq -1 \Longleftrightarrow $
\dresultat {x \in \, ]-\infty ; 0[ \cup ]4; +\infty [}.

\itemalphnum Même problème qu'à la question {\bf 2.} L'équation à
résoudre est \dresultat {f (x) = 4}.

\itemalph Après avoir développé \dresultat {(x+1)(x-5) = x^2 - 4x -
5}, la résolution de l'équation donne~:
$$
   f (x) = 4
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   x^2 - 4x - 1 = 4
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   x^2 - 4x -5 = 0
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   (x+1) (x - 5) = 0
$$
d'où les \tresultat {2~solutions~: $x = -1$ et $x=5$} puisque que l'on
a un produit de facteurs égal à zéro.


\fincorrige