\exo {Images de nombres par une fonction} On considère les fonctions numériques $f$ et $g$ définies par $$ f (x) = {3x-1\over x-3} \qquad {\rm et} \qquad g (x) = -x^2 + 4x + 3. $$ \itemnum Déterminer les images par $f$ des nombres $\smash {\displaystyle {19\over 3}}$ et $3+\sqrt 5$. On donnera les résultats sous forme de fraction irrductible ou sans radical au dénominateur. \itemnum Calculer~: $$ \alph \quad g (-1) \qquad \qquad \alph \quad g (2) \qquad \qquad \alph \quad g \big( 1 + \sqrt 5\big) $$ en simplifiant au mieux les résultats obtenus. \itemnum Le point de coordonnées $(\sqrt 3; 0)$ apprtient-il à la courbe représentative de $g$~? (Justifier votre réponse.) \finexo \corrige \itemnum Il vient $$ f \left( {19\over 3}\right) = {3\times {19\over 3} - 1\over {19\over 3} - 3} = {19- 1\over {19-9\over 3}} = 18 \times {3\over 10} = {2\times 3^3\over 2\times 5} \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat {f \left( {19\over 3}\right) = {3^3\over 5} = {27\over 5}}. $$ et %% $$ %% f (3+\sqrt 5) %% = {3\times (3 +\sqrt 5) - 1\over (3+\sqrt 5) - 3} %% = {9 +3\sqrt 5 - 1\over \sqrt 5} %% = {8 +3\sqrt 5 \over \sqrt 5} \times {\sqrt 5\over \sqrt 5} %% \quad {\rm soit} \quad %% \dresultat {f (3+\sqrt 5) = {8\sqrt 5 + 15\over 5} = 3 + {8\over %% 5}\sqrt 5} %% $$ $$\displaylines { f (3+\sqrt 5) = {3\times (3 +\sqrt 5) - 1\over (3+\sqrt 5) - 3} = {9 +3\sqrt 5 - 1\over \sqrt 5} = {8 +3\sqrt 5 \over \sqrt 5} \times {\sqrt 5\over \sqrt 5} \cr \quad {\rm soit} \quad \dresultat {f (3+\sqrt 5) = {8\sqrt 5 + 15\over 5} = 3 + {8\over 5}\sqrt 5} \cr }$$ \itemnum On trouve facilement $$ \dresultat {g (-1) = -8} \qquad \qquad \dresultat {g (2) = 1} \qquad {\rm et} \qquad \dresultat {g (1+\sqrt 5) = -5 + 2\sqrt 5} $$ \itemnum On trouve $g (\sqrt 3) = -3 + 4\sqrt 3 -3 \neq 0$, donc le point de coordonnées $(\sqrt 3; 0)$ \tresultat {n'appartient pas à la courbe} représentative de la fonction $g$. \fincorrige