\exo {Intersections de courbes, positions relatives} Dans le plan rapporté à un repère orthonormé $(O, \vec \imath , \vec \jmath )$, on désigne par $C_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\rset $ par $$ f (x) = x^2 -2x - 1. $$ On vous a représenté ci-dessous cette courbe, dont l'équation est ~: $y = x^2 - 2x -1$. \def \epspath {% $HOME/tex_doc/lycee/database/2nd/analyse/fonctions/} $$ \superboxepsillustrate {inter_002.ps} $$ \let \partie \centerpartie \partie {A -- Tracé et lecture du graphique} \itemitemalphnum Déterminer graphiquement les solutions de l'équation $x^2 - 2x -1 = 0$. \itemitemalph Déterminer graphiquement les solutions de l'inéquation $x^2 - 2x -1 \leq 2$. \itemitemalph Déterminer graphiquement les solutions de l'inéquation $-1 \leq x^2 - 2x -1 \leq 2$. \itemnum On considère la fonction $g$ définie sur $\rset $ par $g (x) = 1 - x$. \itemitemalph Représenter la courbe représentative de la fonction $g$ sur le graphique précédent. \itemitemalph Résoudre graphiquement l'équation $x^2 - 2x - 1 = 1 - x$. \itemitemalph Résoudre graphiquement l'inéquation $x^2 - 2x - 1 \leq 1 - x$. \itemnum Par simple lecture graphique, dresser le tableau de variation de la fonction $f$. \partie {B -- Par le calcul} \itemnum Résoudre l'équation $f (x) = -1$. \itemnum Résoudre l'inéquation $f (x) \geq -1$. \itemitemalphnum Vérifier que $f (x)$ peut également s'écrire $f (x) = (x-1)^2 - 2$. \itemitemalph En déduire la résolution de l'équation $f (x) = 0$. \partie {C -- Une autre fonction} On considère $C_h$, la courbe représentative de la fonction $h$ définie sur $\rset $ par $$ h (x) = 3 - x^2. $$ \itemnum Que peut-on dire de la parité, ou de l'imparité de la fonction $h$~? Que peut-on en déduire par rapports aux symétries éventuelles de la courbe $C_h$~? \itemitemalphnum Montrer que la fonction $h$ est décroissante sur $[0; +\infty [$. \itemitemalph Montrer que $3$ est le maximume de la fonction $h$. \itemitemalph Déduire des questions précédentes le tableau de variation de la fonction $h$. \itemnum Compléter le tableau suivant~: $$\vcenter {\offinterlineskip \def \cc#1{% \hbox to 12truemm {\hfill #1\hfill }} \halign { % preamble #\tv && \cc {$#$}& #\tv \cr \noalign {\hrule } & x&& -3&& -2&& -3/2&& -1&& 0&& 1&& 3/2&& 2&& 3& \cr \noalign {\hrule } & h (x)&& && && && && && && && && & \cr \noalign {\hrule } }} $$ \itemnum Tracer la courbe $C_h$ d'équation $y = h (x)$ sur le graphique précédent. \itemitemalphnum Développer l'expression $2 (x+1) (x-2)$. \itemitemalph Déterminer, par le calcul, les coordonnées des points d'intersection de $C_f$ et $C_h$. \finexo \corrige \let \partie \llappartie \partie {A} \vskip -6mm \itemalphnum Graphiquement, l'équation $f (x) = 0$ admet \tresultat {2~solutions~: $x\approx -0, 4$ et $x\approx 2, 4$}. \itemalph Toujours graphiquement, on a $f (x) \leq 2$ si et seulement si \dresultat {x\in [-1;3]}. \itemalph Pour finir, on a $-1\leq f (x) \leq 2$ si et seulement si \dresultat {x \in [-1;0] \cup [2; 3]}. \itemalphnum \def \epspath {% $HOME/tex_doc/lycee/database/2nd/analyse/fonctions/} $$ \superboxepsillustrate {inter_002b.ps} $$ \itemalph Les solutions de l'équation $x^2-2x-1 = 1-x$ correspondent aux abscisses des points d'intersection des courbes de $f$ et de $g$. On en déduit qu'il y a \tresultat {2~solutions~: $-1$ et $2$}. \itemalph De la même façon, les solutions de l'inéquation $x^2-2x-1 \leq 1-x$ correspondent aux abscisses des points de la courbe de $f$ qui sont en-dessous de la courbe de $g$. On en déduit \tresultat {l'intervalle solution~: $[-1; 2]$}. \itemnum Le tableau de variation lu sur le graphique est le suivant~: $$\dresultat { \vcenter {\offinterlineskip \eightpoint \rm \def \cc#1{ \hfil #1 \hfil } \halign { % preamble \cc {$#$}& #\tv && \cc {$#$} \cr x&& -\infty && 1&& +\infty \cr \noalign {\hrule height 1pt} \buucenter {$f (x)$}&& & \brightddownarrow & \down {$-2$}& \brightuuparrow & \buup {\phantom {1}} \cr }} }$$ \partie {B} \vskip -5mm \itemnum Il vient $$ f (x) = -1 \quad \Longleftrightarrow \quad x^2 - 2x = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x (x - 2) = 0. $$ On a un produit de facteurs égal à zéro, ce qui permet d'en déduitr les \tresultat {2~solutions~: $0$ et $2$}. \itemnum Il vient $$ f (x) \geq -1 \quad \Longleftrightarrow \quad x^2 - 2x \geq 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x (x - 2) \geq 0. $$ Le tableau de signes s'impose, et il vient $$\vcenter {\offinterlineskip \eightpoint \rm \halign { % preamble #& \cc {$#$}& \tv #& $#$& \cc {$#$} & \cc {$#$} & \cc {$#$} & \cc {$#$} & \cc {$#$} & $#$ \cr & x && -\infty && 0 && 2 &&+\infty \cr \noalign {\hrule height 1pt} & x - 2 &&& - & \tv & - & 0 & + \cr \noalign {\hrule } & x&&& - & 0 & + & \tv & + \cr \noalign {\hrule height 1pt} & \rm produit &&& + & 0 & - & 0 & + \cr \noalign {\hrule } }}$$ d'où la solution~: $f (x) \geq -1$ si et seulement si \dresultat {x \in \, ]-\infty ; 0] \cup [2; +\infty [}. \itemalphnum On vérifie facilement, en développant l'expression proposée, que \dresultat {f (x) = (x-1)^2 - 2}. \itemalph On remarque alors que $2 = \sqrt 2^2$, et il vient $$ f (x) = (x-1)^2 - 2 = (x-1)^2 - (\sqrt 2)^2 \qquad {\rm d'où} \qquad \dresultat {f (x) = (x-1-\sqrt 2) (x-1+\sqrt 2)}. $$ L'expression $f (x)$ étant maintenant factorisée, on en déduit facilement qu'elle est nulle si et seulement si \tresultat {$x = 1 + \sqrt 2$ ou $x = 1-\sqrt 2$}. \partie {C} \vskip -6mm \itemnum \tresultat {La fonction $h$ est paire} puisque $$ h (-x) = 3 - (-x)^2 = 3 - x^2 = h (x). $$ On en déduit que \tresultat {la courbe $C_h$ est symétrique par rapport à l'axe $Oy$}. \itemalphnum Soit $a$ et $b$ deux nombres positifs rangés par ordre croissant. On a $$\eqalign { 0 \leq a \leq b \quad &\Longrightarrow \quad 0 \leq a^2 \leq b^2 \quad \Longrightarrow \quad 0 \geq -a^2 \geq -b^2 \cr \quad &\Longrightarrow \quad 3 \geq 3-a^2 \geq 3-b^2 \quad \Longrightarrow \quad 3 \geq h (a) \geq h (b) }$$ Ce qui prouve que \tresultat {la fonction $h$ est décroissante sur $0; +\infty $}. \itemalph On remarque tout d'abord que \dresultat {h (0) = 3} donc le nombre $3$ est atteint par la fonction $h$. Reste à montrer que l'on a $h (x) \leq 3$ pour tout x. Or $$ h (x) \leq 3 \quad \Longleftrightarrow \quad 3-x^2 \leq 3 \quad \Longleftrightarrow \quad -x^2 \leq 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x^2 \geq 0 $$ et cette dernière égalité est vraie pour tout $x$ réel puisque le carré d'un nombre réel est toujours positif ou nul. On a donc \tresultat {$h (x) \leq 3$ pour tout $x$}. \item {} Les deux points précédents prouvent que \tresultat {$3$ est le maximum de la fonction $h$ sur $\rset $}. \itemalph On sait d'après {\bf 2.}{\sl a\/}) que la fonction $h$ est décroissante sur $[0;+\infty [$, et on sait d'après {\bf 1.} que sa courbe représentative admet une symétrie par rapport à l'axe $Oy$. On en déduit alors le tableau de variation suivant~: $$\dresultat { \vcenter {\offinterlineskip \eightpoint \rm \def \cc#1{ \hfil #1 \hfil } \halign { % preamble \cc {$#$}& #\tv && \cc {$#$} \cr x&& -\infty && 0&& +\infty \cr \noalign {\hrule height 1pt} \buucenter {$h (x)$}&& & \brightuuparrow & \buup {$3$}& \brightddownarrow & \cr }} }$$ \itemnum \` A la calculatrice, on trouve $$\vcenter {\offinterlineskip \def \cc#1{% \hbox to 12truemm {\hfill #1\hfill }} \halign { % preamble #\tv && \cc {$#$}& #\tv \cr \noalign {\hrule } & x&& -3&& -2&& -3/2&& -1&& 0&& 1&& 3/2&& 2&& 3& \cr \noalign {\hrule } & h (x)&& -6&& -1&& 0, 75&& 2&& 3&& 2&& 0, 75&& -1&& -6& \cr \noalign {\hrule } }} $$ \advance \numno by 1 \itemalphnum On trouve \dresultat {2 (x+1) (x-2) = 2x^2 -2x -4}. \itemalph Chercher les coordonnées des points d'intersection des courbes $C_f$ et $C_h$ revient à résoudre le système $$\displaylines { \cases { y = f (x) \cr y = h (x) \cr } \quad \Longleftrightarrow \quad \cases { y = x^2 - 2x - 1 \cr y = 3 - x^2 \cr } \quad \Longleftrightarrow \quad \cases { 3- x^2 = x^2 - 2x - 1 \cr y = 3 - x^2 \cr } \cr \Longleftrightarrow \quad \cases { 0 = 2x^2 - 2x - 4 \cr y = 3 - x^2 \cr } \quad \Longleftrightarrow \quad \cases { 0 = 2 (x+1)(x-2) \cr y = 3 - x^2 \cr } \quad \Longleftrightarrow \quad \cases { x = -1 \quad {\rm ou} \quad x=2 \cr y = 3 - x^2 \cr } }$$ D'où les \tresultat {2~points d'intersection~: $(x, y) = (-1; 2)$ et $(x, y) = (2; -1)$}. \fincorrige