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Source de inter_002c.tex

Fichier TeX
\exo {Intersections de courbes, positions relatives}

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé $(O, \vec \imath , \vec
\jmath )$, on désigne par $C_f$ la courbe représentative de la
fonction $f$ définie sur $\rset $ par
$$
   f (x) = x^2 -2x - 1.
$$
On vous a représenté ci-dessous cette courbe, dont l'équation est ~:
$y = x^2 - 2x -1$.
\def \epspath {%
   $HOME/tex_doc/lycee/database/2nd/analyse/fonctions/}
$$
   \superboxepsillustrate {inter_002.ps}
$$

\let \partie \centerpartie

\partie {A -- Tracé et lecture du graphique}

\itemitemalphnum Déterminer graphiquement les solutions de l'équation
$x^2 - 2x -1 = 0$.

\itemitemalph Déterminer graphiquement les solutions de l'inéquation
$x^2 - 2x -1 \leq 2$.

\itemitemalph Déterminer graphiquement les solutions de l'inéquation $-1 \leq
x^2 - 2x -1 \leq 2$.

\itemnum On considère la fonction $g$ définie sur $\rset $ par $g (x)
= 1 - x$.

\itemitemalph Représenter la courbe représentative de la fonction $g$
sur le graphique précédent.

\itemitemalph Résoudre graphiquement l'équation $x^2 - 2x - 1 = 1 - x$.

\itemitemalph Résoudre graphiquement l'inéquation $x^2 - 2x - 1 \leq 1
- x$. 

\itemnum Par simple lecture graphique, dresser le tableau de variation
de la fonction $f$.

\partie {B -- Par le calcul}

\itemnum Résoudre l'équation $f (x) = -1$.

\itemnum Résoudre l'inéquation $f (x) \geq -1$.

\itemitemalphnum Vérifier que $f (x)$ peut également s'écrire $f (x) =
(x-1)^2 - 2$.

\itemitemalph En déduire la résolution de l'équation $f (x) = 0$.

\partie {C -- Une autre fonction}

On considère $C_h$, la courbe représentative de la fonction $h$
définie sur $\rset $ par  
$$
   h (x) = 3 - x^2.
$$

\itemnum Que peut-on dire de la parité, ou de l'imparité de la
fonction $h$~? Que peut-on en déduire par rapports aux symétries
éventuelles de la courbe $C_h$~?

\itemitemalphnum Montrer que la fonction $h$ est décroissante sur $[0;
+\infty [$.

\itemitemalph Montrer que $3$ est le maximume de la fonction $h$.

\itemitemalph Déduire des questions précédentes le tableau de
variation de la fonction $h$.

\itemnum Compléter le tableau suivant~:
$$\vcenter {\offinterlineskip 
   \def \cc#1{%
      \hbox to 12truemm {\hfill #1\hfill }}
\halign {
   % preamble
      #\tv && \cc {$#$}& #\tv
   \cr
   \noalign {\hrule }
      & x&& -3&& -2&& -3/2&& -1&& 0&& 1&& 3/2&& 2&& 3&
   \cr
   \noalign {\hrule }
      & h (x)&& && && && && && && && && &
   \cr
   \noalign {\hrule }
}}
$$

\itemnum Tracer la courbe $C_h$ d'équation $y = h (x)$
sur le graphique précédent.

\itemitemalphnum Développer l'expression $2 (x+1) (x-2)$.

\itemitemalph Déterminer, par le calcul, les coordonnées des points
d'intersection de $C_f$ et $C_h$.

\finexo

\corrige

\let \partie \llappartie

\partie {A}
\vskip -6mm
\itemalphnum Graphiquement, l'équation $f (x) = 0$ admet \tresultat
{2~solutions~: $x\approx -0, 4$ et $x\approx 2, 4$}.

\itemalph Toujours graphiquement, on a $f (x) \leq 2$ si et seulement
si \dresultat {x\in [-1;3]}.

\itemalph Pour finir, on a $-1\leq f (x) \leq 2$ si et seulement si
\dresultat {x \in [-1;0] \cup [2; 3]}.

\itemalphnum
\def \epspath {%
   $HOME/tex_doc/lycee/database/2nd/analyse/fonctions/}
$$
   \superboxepsillustrate {inter_002b.ps}
$$

\itemalph Les solutions de l'équation $x^2-2x-1 = 1-x$ correspondent
aux abscisses des points d'intersection des courbes de $f$ et de
$g$. On en déduit qu'il y a \tresultat {2~solutions~: $-1$ et $2$}.

\itemalph De la même façon, les solutions de l'inéquation $x^2-2x-1
\leq  1-x$ correspondent aux abscisses des points de la courbe de $f$
qui sont en-dessous de la courbe de $g$. On en déduit  \tresultat
{l'intervalle solution~: $[-1; 2]$}.

\itemnum Le tableau de variation lu sur le graphique est le suivant~:
$$\dresultat {
\vcenter {\offinterlineskip \eightpoint \rm 
   \def \cc#1{ \hfil #1 \hfil }
   \halign {
   % preamble
      \cc {$#$}& #\tv && \cc {$#$}
   \cr
      x&& -\infty && 1&& +\infty
   \cr
   \noalign {\hrule height 1pt}
      \buucenter {$f (x)$}&& &
      \brightddownarrow & \down {$-2$}& 
      \brightuuparrow & \buup {\phantom {1}}
   \cr
}}
}$$


\partie {B}
\vskip -5mm
\itemnum Il vient
$$
   f (x) = -1
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   x^2 - 2x = 0
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   x (x - 2) = 0.
$$
On a un produit de facteurs égal à zéro, ce qui permet d'en déduitr
les \tresultat {2~solutions~: $0$ et $2$}. 

\itemnum Il vient
$$
   f (x) \geq -1
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   x^2 - 2x \geq 0
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   x (x - 2) \geq 0.
$$
Le tableau de signes s'impose, et il vient
$$\vcenter {\offinterlineskip
   \eightpoint \rm
   \halign {
   % preamble
      #& \cc {$#$}& \tv #& $#$&
         \cc {$#$} & \cc {$#$} & \cc {$#$} & \cc {$#$} & \cc {$#$} 
      & $#$
   \cr
      & x && -\infty && 0 && 2 &&+\infty
   \cr
   \noalign {\hrule height 1pt}
      & x - 2 &&& - & \tv & - & 0 & +
   \cr
   \noalign {\hrule }
      & x&&& - & 0 & + & \tv & + 
   \cr
   \noalign {\hrule height 1pt}
      & \rm produit &&& + & 0 & - & 0 & +
   \cr
   \noalign {\hrule }
}}$$
d'où la solution~: $f (x) \geq -1$ si et seulement si \dresultat {x
\in \, ]-\infty ; 0] \cup [2; +\infty [}.

\itemalphnum On vérifie facilement, en développant l'expression
proposée, que \dresultat {f (x) = (x-1)^2 - 2}.

\itemalph On remarque alors que $2 = \sqrt 2^2$, et il vient
$$
   f (x) = (x-1)^2 - 2 = (x-1)^2 - (\sqrt 2)^2 
      \qquad {\rm d'où} \qquad
   \dresultat {f (x) = (x-1-\sqrt 2) (x-1+\sqrt 2)}.
$$
L'expression $f (x)$ étant maintenant factorisée, on en déduit
facilement qu'elle est nulle si et seulement si \tresultat {$x = 1 +
\sqrt 2$ ou $x = 1-\sqrt 2$}.

\partie {C}
\vskip -6mm
\itemnum \tresultat {La fonction $h$ est paire} puisque
$$
   h (-x) = 3 - (-x)^2 = 3 - x^2 = h (x).
$$
On en déduit que  \tresultat {la courbe $C_h$ est symétrique par
rapport à l'axe $Oy$}.

\itemalphnum Soit $a$ et $b$ deux nombres positifs rangés par ordre
croissant. On a
$$\eqalign {
   0 \leq a \leq b 
      \quad &\Longrightarrow \quad
   0 \leq a^2 \leq b^2
      \quad \Longrightarrow \quad
   0 \geq -a^2 \geq -b^2
\cr
      \quad &\Longrightarrow \quad
   3 \geq 3-a^2 \geq 3-b^2
      \quad \Longrightarrow \quad
   3 \geq h (a) \geq h (b)
}$$
Ce qui prouve que \tresultat {la fonction $h$ est décroissante sur
   $0; +\infty $}.

\itemalph On remarque tout d'abord que \dresultat {h (0) = 3} donc le
   nombre $3$ est atteint par la fonction $h$. Reste à montrer que
   l'on a $h (x) \leq 3$ pour tout x. Or
$$
   h (x) \leq 3
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   3-x^2 \leq 3
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   -x^2 \leq 0
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   x^2 \geq 0
$$
et cette dernière égalité est vraie pour tout $x$ réel puisque le
carré d'un nombre réel est toujours positif ou nul. On a donc 
\tresultat {$h (x) \leq 3$ pour tout $x$}. 

\item {} Les deux points précédents prouvent que \tresultat {$3$ est
le maximum de la fonction $h$ sur $\rset $}.

\itemalph On sait d'après {\bf 2.}{\sl a\/}) que la fonction $h$ est
décroissante sur $[0;+\infty [$, et on sait d'après {\bf 1.} que sa
courbe représentative admet une symétrie par rapport à l'axe $Oy$. On
en déduit alors le tableau de variation suivant~:
$$\dresultat {
\vcenter {\offinterlineskip \eightpoint \rm 
   \def \cc#1{ \hfil #1 \hfil }
   \halign {
   % preamble
      \cc {$#$}& #\tv && \cc {$#$}
   \cr
      x&& -\infty && 0&& +\infty
   \cr
   \noalign {\hrule height 1pt}
      \buucenter {$h (x)$}&& &
      \brightuuparrow & \buup {$3$}&
      \brightddownarrow & 
   \cr
}}
}$$

\itemnum \` A la calculatrice, on trouve
$$\vcenter {\offinterlineskip 
   \def \cc#1{%
      \hbox to 12truemm {\hfill #1\hfill }}
\halign {
   % preamble
      #\tv && \cc {$#$}& #\tv
   \cr
   \noalign {\hrule }
      & x&& -3&& -2&& -3/2&& -1&& 0&& 1&& 3/2&& 2&& 3&
   \cr
   \noalign {\hrule }
      & h (x)&& -6&& -1&& 0, 75&& 2&& 3&& 2&& 0, 75&& -1&& -6&
   \cr
   \noalign {\hrule }
}}
$$

\advance \numno by 1

\itemalphnum On trouve \dresultat {2 (x+1) (x-2) = 2x^2 -2x -4}.

\itemalph Chercher les coordonnées des points d'intersection des
courbes $C_f$ et $C_h$ revient à résoudre le système
$$\displaylines {
   \cases {
      y = f (x)
   \cr 
      y = h (x)
   \cr }
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   \cases {
      y = x^2 - 2x - 1
   \cr 
      y = 3 - x^2
   \cr }
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   \cases {
      3- x^2 = x^2 - 2x - 1
   \cr 
      y = 3 - x^2
   \cr }
\cr
      \Longleftrightarrow \quad
   \cases {
      0 = 2x^2 - 2x - 4
   \cr 
      y = 3 - x^2
   \cr }
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   \cases {
      0 = 2 (x+1)(x-2)
   \cr 
      y = 3 - x^2
   \cr }
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   \cases {
      x = -1 \quad {\rm ou} \quad x=2
   \cr 
      y = 3 - x^2
   \cr }
}$$
D'où les \tresultat {2~points d'intersection~: $(x, y) = (-1; 2)$ et
   $(x, y) = (2; -1)$}.

\fincorrige