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Source de lect_004.tex

Fichier TeX
\exo {Lecture de graphique}

On vous donne ci-dessous la courbe représentative d'une fonction $f$
définie pour tout $x$ de $[-3; 3]$.

\def \epspath {%
   $HOME/tex_doc/lycee/database/2nd/analyse/fonctions/}

$$
   \superboxepsillustrate {lect_004a.ps}
$$

\itemitemalphnum Déterminer graphiquement l'image de $-1$ par $f$.

\itemitemalph Déterminer graphiquement le nombre d'antécédents de $1$ par
$f$. Donner une valeur approchée de chacun de ces antécédents.

\itemnum On admet que la fonction $f$ représentée est définie pour
tout $x$ de $[-3;3]$ par
$$
   f (x) = x^3 - 3x + 1.
$$

\itemitemalph Le point $A (\sqrt 2; 1-\sqrt 2)$ appartient-il à la
courbe de $f$~? (Justifier.)

\itemitemalph Déterminer {\bf par le calcul} les antécédents de $1$
par $f$.

\finexo

\corrige {}

\itemalphnum On a \dresultat {f (-1) = 3}

\itemalph Les antécédents de $2$ par $f$ correspondent aux \tresultat
{abcisses des points d'intersection} de la courbe de $f$ avec la
droite horizontale $y = 1$. Ici, on trouve donc \tresultat
{3~solutions~: $x_1 \approx -1, 7$, $x_2\approx 0$ et $x_3 \approx 1, 7$}.

\itemalphnum Un point de coordonnées $(x, y)$ appartient à la courbe de
$f$ si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation de la
courbe~: $y = f (x)$. Ici, on vérifie facilement que
$$
   f (\sqrt 2) = 1 - \sqrt 2
$$
ce qui prouve que \tresultat {le point $A$ appartient à la courbe de
$f$}.

\itemalph Chercher les antécédents de $1$ par $f$ revient à résoudre
l'équation $f (x) = 1$. On a donc ici à résoudre~:
$$
   x^3 - 3x = 0
      \qquad \Longleftrightarrow \qquad
   x (x^2 - 3) = 0
      \qquad \Longleftrightarrow \qquad
   x (x - \sqrt 3) (x + \sqrt 3) = 0
$$
Sachant qu'un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des
facteurs est nul, on en déduit que le nombre $1$ admet \tresultat
{$3$~antécédents par $f$~: $x_1 = -\sqrt 3$, $x_2 = 0$ et $x_3 =
\sqrt 3$}.

\fincorrige