\exo {Lecture de graphique} On vous donne ci-dessous la courbe représentative d'une fonction $f$ définie pour tout $x$ de $[-3; 3]$. \def \epspath {% $HOME/tex_doc/lycee/database/2nd/analyse/fonctions/} $$ \superboxepsillustrate {lect_004a.ps} $$ \itemitemalphnum Déterminer graphiquement l'image de $-1$ par $f$. \itemitemalph Déterminer graphiquement le nombre d'antécédents de $1$ par $f$. Donner une valeur approchée de chacun de ces antécédents. \itemnum On admet que la fonction $f$ représentée est définie pour tout $x$ de $[-3;3]$ par $$ f (x) = x^3 - 3x + 1. $$ \itemitemalph Le point $A (\sqrt 2; 1-\sqrt 2)$ appartient-il à la courbe de $f$~? (Justifier.) \itemitemalph Déterminer {\bf par le calcul} les antécédents de $1$ par $f$. \finexo \corrige {} \itemalphnum On a \dresultat {f (-1) = 3} \itemalph Les antécédents de $2$ par $f$ correspondent aux \tresultat {abcisses des points d'intersection} de la courbe de $f$ avec la droite horizontale $y = 1$. Ici, on trouve donc \tresultat {3~solutions~: $x_1 \approx -1, 7$, $x_2\approx 0$ et $x_3 \approx 1, 7$}. \itemalphnum Un point de coordonnées $(x, y)$ appartient à la courbe de $f$ si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation de la courbe~: $y = f (x)$. Ici, on vérifie facilement que $$ f (\sqrt 2) = 1 - \sqrt 2 $$ ce qui prouve que \tresultat {le point $A$ appartient à la courbe de $f$}. \itemalph Chercher les antécédents de $1$ par $f$ revient à résoudre l'équation $f (x) = 1$. On a donc ici à résoudre~: $$ x^3 - 3x = 0 \qquad \Longleftrightarrow \qquad x (x^2 - 3) = 0 \qquad \Longleftrightarrow \qquad x (x - \sqrt 3) (x + \sqrt 3) = 0 $$ Sachant qu'un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul, on en déduit que le nombre $1$ admet \tresultat {$3$~antécédents par $f$~: $x_1 = -\sqrt 3$, $x_2 = 0$ et $x_3 = \sqrt 3$}. \fincorrige