\exo {Maximum et sens de variation pour une fonction polynôme de degré 2} On considère la fonction $f$ définie sur $\rset $ par $$ f (x) = -x^2 + 4x -1. $$ \itemnum Montrer que $f (x)$ peut également s'écrire $$ f (x) = -(2-x)^2 + 3. $$ \itemnum Résoudre dans $\rset $ l'équation $-x^2 + 4x - 1 = 3$. \itemnum Montrer que $3$ est le maximum de la fonction $f$. \itemnum Montrer que la fonction $f$ est décroissante pour $x \in [2; +\infty [$ \finexo \corrige {} \itemnum On vérifie facilement que $-(2-x)^2 + 3 = -x^2 + 4x -1$, ce qui prouve que \dresultat {f (x) = -(2-x)^2 + 3}. \itemnum En utilisant la question précédente, il vient $$ -x^2 + 4x - 1 = 3 \quad \Longleftrightarrow \quad -(2-x)^2 + 3 = 3 \quad \Longleftrightarrow \quad (2-x)^2 = 0 $$ d'où \tresultat {l'unique solution~: $x=2$}. \itemnum D'après la question précédente, on a \dresultat {f (2) = 3}. Il nous reste donc à montrer que $f (x)\leq 3$ pour tout réel $x$. Or $$ f (x) \leq 3 \quad \Longleftrightarrow \quad -(2-x)^2 + 3 \leq 3 \quad \Longleftrightarrow \quad -(2-x)^2 \leq 0 \quad \Longleftrightarrow \quad (2-x)^2 \geq 0 $$ et cette dernière inégalité est toujours vraie puisque le carré d'un nombre réel est toujours positif ou nul. Ce qui prouve que l'inégalité \tresultat {$f (x) \leq 3$ est toujours vraie} et donc que \tresultat {$3$ est le maximum de $f$}. \itemnum Il nous faut montrer que si $a$ et $b$ sont deux nombres tels que $2\leq a\leq b$, alors $f (a) \geq f (b)$. Il vient alors $$\eqalign { 2 \leq a \leq b \quad &\Longleftrightarrow \quad -2 \geq -a \geq -b \quad \Longleftrightarrow \quad 0 \geq 2-a \geq 2-b \cr &\Longleftrightarrow \quad 0 \leq (2-a)^2 \leq (2-b)^2 \quad \hbox {(car $x\mapsto x^2$ est décroissante sur $]-\infty ;0]$)} \cr &\Longleftrightarrow \quad 0 \geq -(2-a)^2 \geq -(2-b)^2 \cr &\Longleftrightarrow \quad 3 \geq 3-(2-a)^2 \geq 3-(2-b)^2 \cr &\Longleftrightarrow \quad 3 \geq f (a) \geq f (b) \cr }$$ ce qui prouve que \tresultat {la fonction $f$ est décroissante sur $]-\infty ; 0]$}. \fincorrige