\exo {\' Etude d'une fonction polynome -- \' Equation, inéquation} On considère la fonction $f$ définie sur $\rset $ par $$ f (x) = -x^2 + 4x - 1. $$ \itemnum Montrer que, pour tout réel $x$, $f (x) = - (x - 2)^2 + 3$. \itemitemalphnum Démontrer que la fonction $f$ est croissante sur $]-\infty ; 2]$. \itemitem {} On admet que $f$ est décroissante sur $[2; +\infty [$. \itemitemalph Dresser le tableau de variation de $f$. \itemitemalph Recopier et compléter le tableau de valeurs ci-dessous $$\vcenter {\offinterlineskip \def \cc#1{% \hbox to 14mm {\hfill #1\hfill }} \halign { % preamble #\tv && \cc {$#$}& #\tv \cr \noalign {\hrule } & x&& -1&& 0&& 1&& 2&& 3&& 4&& 5& \cr \noalign {\hrule } & f (x)&& && && && && && && & \cr \noalign {\hrule } }} $$ \itemitemalph Tracer la courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-1 ; 5]$ (sur le repère ci-dessous). \itemnum Résoudre algébriquement $$ \alph \qquad f (x) = -1 \qquad \qquad \alph \qquad f (x) \geq 2. $$ \def \epspath {% $HOME/tex_doc/lycee/database/2nd/analyse/fonctions/} $$ \superboxepsillustrate {vars_007a.ps} $$ \finexo \corrige \itemnum Développons l'expression proposée. Il vient~: $$ - (x - 2)^2 + 3 = - (x^2 - 4x + 4) + 3 = - x^2 + 4x - 1 \qquad {\rm d'où} \qquad \dresultat {- x^2 + 4x - 1 = f (x) = - (x - 2)^2 + 3} $$ \itemalphnum Il s'agit de montrer que $$ {\rm si} \qquad a \leq b \leq 2 \qquad {\rm alors} \qquad f (a) \leq f (b). $$ On suppose donc $a \leq b \leq 2$ et on utilise la deuxième écriture de $f (x)$. Il vient $$\eqalign { a \leq b \leq 2 \quad &\Longrightarrow \quad a - 2 \leq b - 2 \leq 0 \cr &\Longrightarrow \quad (a - 2)^2 \geq (b - 2)^2 \geq 0 \qquad \hbox {puisque $x \mapsto x^2$ décroissante sur $]-\infty ; 0]$} \cr &\Longrightarrow \quad -(a - 2)^2 \leq -(b - 2)^2 \leq 0 \qquad \hbox {puisque l'on multiplie par $-1$ qui est négatif} \cr &\Longrightarrow \quad -(a - 2)^2 + 3 \leq -(b - 2)^2 + 3 \leq 3 \qquad \hbox {c'est à dire} \qquad \dresultat {f (a) \leq f (b)} \leq 3. \cr }$$ Ce qui prouve que \tresultat {$f$ est croissante sur $]-\infty ; 2]$}. \itemalph \alph \ On obtient finalement les tableaux suivant~: $$ \dresultat { \vcenter {\offinterlineskip \eightpoint \rm \def \cc#1{ \hfil #1 \hfil } \halign { % preamble \cc {$#$}& #\tv && \cc {$#$} \cr x&& -\infty && 2&& +\infty \cr \noalign {\hrule } \buucenter {$f (x)$}&& & \brightuuparrow & \buup {$3$}& \brightddownarrow & \down {\phantom {1}} \cr }} } \qquad \qquad \vcenter {\offinterlineskip \def \cc#1{% \hbox to 8mm {\hfill #1\hfill }} \halign { % preamble #\tv && \cc {$#$}& #\tv \cr \noalign {\hrule } & x&& -1&& 0&& 1&& 2&& 3&& 4&& 5& \cr \noalign {\hrule } & f (x)&& -6&& -1&& 2&& 3&& 2&& -1&& -6& \cr \noalign {\hrule } }} $$ \itemalph et la courbe représentative de la fonction $f$ sur $[-1; 5]$ \def \epspath {% $HOME/tex_doc/lycee/database/2nd/analyse/fonctions/} $$ \superboxepsillustrate {vars_007b.ps} $$ \itemalphnum Il vient $$ f (x) = -1 \quad \Longleftrightarrow \quad -x^2 + 4x - 1 = -1 \quad \Longleftrightarrow \quad -x^2 + 4x = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x (4 - x) = 0 $$ et ce produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul, d'où les \tresultat {2 solutions~: $0$ et $4$}. \itemalph Il vient $$\displaylines { f (x) \geq 2 \quad \Longleftrightarrow \quad -(x-2)^2 + 3 \geq 2 \quad \Longleftrightarrow \quad 1 - (x - 2)^2 \geq 0 \cr \Longleftrightarrow \quad \big( 1 + (x-2) \big) \big( 1 - (x-2) \big) \geq 0 \quad \Longleftrightarrow \quad (x-1) (3 - x) \geq 0. }$$ Un tableau de signes permet alors de conclure $$\vcenter {\offinterlineskip \eightpoint \rm \halign { % preamble \tv #& \cc {$#$}& \tv #& $#$& \cc {$#$} & \cc {$#$} & \cc {$#$} & \cc {$#$} & \cc {$#$} & $#$ \cr & x && -\infty && 1 && 3 &&+\infty \cr \noalign {\hrule } & x - 1 &&& - & 0 & + & \tv & + \cr \noalign {\hrule height 1pt} & 3 - x &&& + & \tv & + & 0 & - \cr \noalign {\hrule height 1pt} & \rm produit &&& - & 0 & + & 0 & - \cr \noalign {\hrule } }}$$ D'où \dresultat {f (x) \geq 2 \quad \Longleftrightarrow \quad x \in [1; 3]}. \fincorrige