\exo {Application d'une formule de trigonométrie} Dans cet exercice, on admet que l'on a, pour tout réel $x$, $$ \sin 2x = 2 \sin x \cos x. $$ et l'on va utiliser cette formule pour déterminer quelques sinus et cosinus \og exotiques\fg . \itemnum On donne $$ \cos x = {\sqrt {2 + \sqrt 2}\over 2} \qquad {\rm avec} \qquad x \in I = \left [ 0; {\pi \over 4}\right] . $$ \itemitemalph Calculer $\sin x$. \itemitemalph En déduire $\sin 2x$. \itemitemalph Déterminer un encadrement de $2x$ lorsque $x$ est dans l'intervalle $I$. \itemitemalph Déduire des questions précédentes que $\displaystyle x = {\pi \over 8} $. \itemnum On donne $$ \cos x = {\sqrt 6 + \sqrt 2\over 4} \qquad {\rm avec} \qquad x \in I = \left [ 0; {\pi \over 4}\right] . $$ \itemitemalph Calculer $\sin 2x$ en procédant comme précédemment. \itemitemalph En déduire $x$. \finexo