\exo {Un petit problème en géométrie analytique} Dans un repère orthonormé $(O, \vec \imath , \vec \jmath \,)$ d'unité 1~cm, on donne les points~: $A (3;3)$, $B (-3;6)$ et $C (-3;-9)$. \itemnum Démontrer que $ABC$ est un triangle rectangle. Calculer son aire. \itemnum Calculer les coordonnées du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme. \itemnum Soit $E (-1;5)$. Démontrer que les points $A$, $B$ et $E$ sont alignés. \itemitemalphnum Construire sur le dessin ci-dessous la droite $\Delta $ passant par le point $F (0;1)$ et ayant $-1/2$ comme coefficient directeur. Déterminer l'équation réduite de $\Delta $. \itemitemalph Déterminer une équation de la droite $(AC)$. \def \epspath {% $HOME/tex_doc/lycee/database/2nd/geometrie/analytique/} $$ \superboxepsillustrate {synt_003a.ps} $$ \itemnum On considère les droites $d_1$ et $d_2$ d'équations respectives $$ d_1~: x+3+2y = 0 \qquad {\rm et} \qquad d_2~: y = x+3. $$ \itemitemalph Représenter ces deux droites dans le repère ci-dessus. \itemitemalph Montrer que le point $G (-3; 0)$ appartient à $d_1$ et à $d_2$. \itemnum Déterminer les coordonnées du point $M$ défini par $$ \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MF} = \overrightarrow {FE} $$ Représenter le point $M$. \itemitemalphnum Déterminer les coordonnées du point de $d_1$ d'abscisse~$1$. \itemitemalph Déterminer les coordonnées du point de $d_2$ d'ordonnée~$2$. \finexo \corrige {} \itemnum On a $$ \overrightarrow {AB} = {-3 - 3\choose 6-3} = {-6\choose 3} \qquad \qquad \overrightarrow {BC} = {0\choose -15} \qquad \qquad \overrightarrow {AC} = {-6\choose -12} $$ d'où les distances $$ AB = \sqrt {(-6)^2 + 3^2} = \sqrt {45} = 3\sqrt 5 \qquad \qquad BC = 15 \qquad \qquad AC = \sqrt {(-6)^2 + (-12)^2} = \sqrt {180} = 6\sqrt 5 $$ Il est alors facile de vérifier Pythagore~: $BC^2 = AB^2 + AC^2$, ce qui prouve que \tresultat {$ABC$ rectangle en $A$}. Son aire est alors ${\cal A} = {1\over 2}\times 3\sqrt 5 \times 6\sqrt 5$, soit \dresultat {{\cal A} = 45\cm ^2 }. \item {} Une autre méthode, plus rapide, consiste à déterminer les coefficients directeurs des droites $(AB)$ et $(AC)$ à partir des vecteurs $\overrightarrow {AB}$ et $\overrightarrow {AC}$, pour vérifier ensuite que le produit de ces coefficients fait bien $-1$, prouvant ainsi l'orthogonalité des droites considérées. \itemnum Le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme si et seulement si $\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC}$. En posant $D$ de coordonnées inconnues $(x_D, y_D)$, la relation précédente nous donne le système~: $$ {x_d - 3\choose y_D - 3} = {0\choose -15} \quad \Longleftrightarrow \quad \cases { x_D = 3 \cr y_D = -15+3 = -12 \cr } \qquad {\rm d'où} \qquad \dresultat {D (3; -12)} $$ \itemnum Les points $A$, $B$ et $E$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow {AB}$ et $\overrightarrow {AA}$ sont colinéaires. Or $$ \overrightarrow {AB} = {-6\choose 3} \qquad {\rm et} \qquad \overrightarrow {AE} = {4\choose -2} $$ La relation de colinéarité donne alors $-6\times (-2) - 3\times 4 = 0$, ce qui prouve que ces vecteurs sont colinéaires, et donc que \tresultat {les points $A$, $B$ et $E$ sont alignés}. \def \epspath {% $HOME/tex_doc/lycee/database/2nd/geometrie/analytique/} \itemalphnum $$ \superboxepsillustrate {synt_003b.ps} $$ Nous connaissons le coeeficient directeur de la droite $\Delta $, ce qui nous permet d'affirmer que son équation réduite est de la forme $$ \Delta ~: y = - {1\over 2} x + b $$ où $b$ est une constante réelle à déterminer. Sachant que le point $F$ appartient à $\Delta $, on en déduit que les coordonnées de $F$ vérifient cette équation et que l'on a la relation $$ 1 = - {1\over 2} \times 0 + b \qquad {\rm d'où} \qquad b = 1. $$ L'équation réduite de $\Delta $ est donc finalement \dresultat {\Delta ~: y = -{1\over 2} x + 1}. \itemalph Procédons de la même manière que précédemment. Sachant que $$ \overrightarrow {AC} = {-6\choose -12} $$ on en déduit que le coefficient directeur de $(AC)$ est $-12/-6 = 2$. Reste à utiliser le fait que les coordonnées de $A$vérifient l'équation de la droite $(AC)$ pour trouver l'ordonnée à l'origine. Tous calculs faits, on trouve l'équation réduite \dresultat {(AC)~: y = 2x - 3}. \itemalphnum L'équation réduite de la droite $d_1$ est $$ d_1~: y = -{1\over 2} x - {3\over 2}. $$ Les points $(1; -2)$ et $(-1; 1)$, par exemple, sont sur cette droite. \itemalph On vérifie facilement que les coordonnées de $G$ vérifient les équations des droites $d_1$ et $d_2$. Ainsi, on a bien $$ -3 + 3 + 2\times 0 = 0 \qquad {\rm et} \qquad 0 = -3 + 3. $$ Ce qui prouve que \tresultat {le point $G$ appartient à $d_1$ et à $d_2$}. \itemnum Soit $M (x, y)$ le point inconnu. On a $$\eqalign { & \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MF} = \overrightarrow {FE} \cr \Longleftrightarrow \quad & {3-x \choose 3-y} + {0-x\choose 1-y} = {-1-0\choose 5-1} \cr \Longleftrightarrow \quad & {3-2x \choose 4-2y} = {-1\choose 4} \cr \Longleftrightarrow \quad & \cases { 3-2x = -1 \cr 4-2y = 4 \cr } \quad \Longleftrightarrow \quad (x, y) = (2, 0) \cr } $$ d'où les coordonnées cherchées \dresultat {M (2, 0)}. \itemalphnum Connaissant l'équation de la droite $d_1$, il suffit de trouver $y$ lorque $x=1$. D'où le point cherché~: \dresultat {(1, -2)} \itemalph Même raisonnement avec $d_2$~: que vaut $x$ si $y=2$. On trouve \dresultat {(-1; 2)}. \fincorrige