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Source de cerc_001.tex

Fichier TeX
Image JPEG
\exo {Cercles, triangles et angles}


On note $\cal C$ le cercle de centre $O$ et de diamètre $[AB]$. Les
points $C$ et $D$ sont disposés comme l'indique la figure ci-dessous~:
$$
   \widehat {BOD} = 90°,
       \qquad {\rm et} \qquad
   \widehat {BAC} = 40°.
$$
\def \epspath {%
   $HOME/tex_doc/lycee/database/2nd/geometrie/config/}
$$
   \superboxepsillustrate {cerc_001.ps}
$$

Calculer les mesures des angles du triangle $BCD$.

\finexo

\corrige

Les angles $\widehat {CAB}$ et $\widehat {CDB}$ sont deux angles
inscrits interceptant le même arc, donc ils sont de même mesure et
\dresultat {\widehat {CDB} = 40°}.

Le triangle $ODB$ est un triangle rectangle par hypothèse, et il est
isocèle puisque $OD$ et $OB$ sont des rayons du cercle~$\cal C$. On a
donc en particulier \dresultat {\widehat {OBD} = 45°}.

Le triangle $ABC$ est rectangle en $C$ puisque $A$, $B$ et $C$ sont
des point du cercle $\cal C$ alors que $[AB]$est un diamètre de $\cal
C$. La somme des angles étant de $180°$ dans un triangle, on en déduit
que \dresultat {\widehat {ABC} = 50°}.

En raisonnant maintenant dans le triangle $BDC$, on trouve l'angle
manquant~: \dresultat {\widehat {DCB} = 180 - 135 = 45°}.
\def \epspath {%
   $HOME/tex_doc/lycee/database/2nd/geometrie/config/}
$$
   \superboxepsillustrate {cerc_001b.ps}
$$

On peut alors conclure 
$$
   \dresultat {\widehat {CDB} = 40°}
      \qquad \qquad
   \dresultat {\widehat {DBC} = 95°}
      \qquad {\rm et}\qquad
   \dresultat {\widehat {BCD} = 45°}
$$

\fincorrige